2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{A，},|{2AnnxxB，则BA()．A．}4,1{B．}3,2{C．}16,9{D．}2,1{2．2)1(21ii()．A．i211B．i211C．i211D．i2113．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()．A．21B．31C．41D．614．已知双曲线C：2222=1xyab)0,0(ba的离心率为52，则C的渐近线方程为()．A．xy41B．xy31C．xy21D．xy5．已知命题xxRxP32,:；命题231,:xxRxq，则下列命题中为真命题的是()．A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q6．设首项为1，公比为23的等比数列}{na的前n项和为nS，则()．A．12nnaSB．23nnaSC．nnaS34D．nnaS237．执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[t，则输出的s属于()．A．]4,3[B．]2,5[C．]3,4[D．]5,2[28．O为坐标原点，F为抛物线xyC24:2的焦点，P为C上一点，若24||PF，则POF的面积为()．A．2B．22C．32D．49．函数xxxfsin)cos1()(在],[的图像大致为()．10．已知锐角ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,,6,7,02coscos232caAA,则b＝()．A．10B．9C．8D．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．816B．88C．1616D．16812．已知函数)(xf22,0,ln(1),0.xxxxx若axxf|)(|，则a的取值范围是()．A．]0,(B．]1,(C．]1,2[D．]0,2[第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为060，cta)1(tb.若b·c0，则t.14．设yx,满足约束条件13,10,xxy则yxz2的最大值为．15．已知H是球O的直径AB上一点，2:1:HBAH，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为．316．设当x时，函数xxxfcos2sin)(取得最大值，则cos.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列}{na的前n项和nS满足5,053SS.(1)求}{na的通项公式；(2)求数列}1{1212nnaa的前n项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．420．(本小题满分12分)已知函数xxbaxexfx4)()(2,曲线)(xfy在点))0(,0(f处的切线方程为44xy.(1)求ba,的值；(2)讨论)(xf的单调性，并求)(xf的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆1)1(:22yxM，圆9)1(:22yxN，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两点，当圆P的半径最长时，求||AB.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．52013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．2．答案：B解析：212i12i12ii2i1i2i22＝11+i2.3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．答案：C解析：∵52e，∴52ca，即2254ca.∵c2＝a2＋b2，∴2214ba.∴12ba.∵双曲线的渐近线方程为byxa，∴渐近线方程为12yx.故选C.5．答案：B6解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.6．答案：D解析：11211321113nnnnaaaqaqSqq＝3－2an，故选D.7．答案：A解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，s＝4t－t2.∵该函数的对称轴为t＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴smax＝4，smin＝3.∴s∈[3,4]．综上知s∈[－3,4]．故选A.8．答案：C解析：利用|PF|＝242Px，可得xP＝32.∴yP＝26.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝23.故选C.9．答案：C解析：由f(x)＝(1－cosx)sinx知其为奇函数．可排除B．当x∈π0,2时，f(x)＞0，排除A.当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cosx(1－cosx)＝－2cos2x＋cosx＋1.7令f′(x)＝0，得2π3x.故极值点为2π3x，可排除D，故选C.10．答案：D解析：由23cos2A＋cos2A＝0，得cos2A＝125.∵A∈π0,2，∴cosA＝15.∵cosA＝2364926bb，∴b＝5或135b(舍)．故选D.11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V半圆柱＝12π×22×4＝8π，V长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．答案：D解析：可画出|f(x)|的图象如图所示．当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限，由2,2,yaxyxx得x2－(a＋2)x＝0.∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.∴a∈[－2,0]．故选D.8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝111122.∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0.∴12t＋1－t＝0.∴t＝2.14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O的半径为R，则AH＝23R，OH＝3R.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.∵在Rt△OEH中，R2＝22+13R，∴R2＝98.9∴S球＝4πR2＝9π2.16．答案：255解析：∵f(x)＝sinx－2cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝255，cosφ＝55.当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．∴cosθ＝πcos2＝－sinφ＝255.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝1(1)2nnnad.由已知可得11330,5105,adad解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知21211nnaa＝1111321222321nnnn，从而数列21211nnaa的前n项和为1111111211132321nn＝12nn.18．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得10x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，11所以OC＝OA1＝3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋21OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－