2018届重庆中考复习：二次函数相关的存在性问题习题练习(含答案)

2018届重庆中考复习：二次函数相关的存在性问题习题练习（含答案）一．等腰三角形存在性问题：例1．如图①，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A(－5，0)、B(－1，0)，与y轴交于点C(0，－5)，点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D.(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图②.①若∠APE＝∠CPE，求证：AEEC＝37；②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．针对训练：1．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于E，作QN⊥x轴于N，交BC于M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于F，交OC于G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的2倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动．设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D.现将抛物线以每秒3个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转α°(0°α180°)，记旋转中的△A′C′B为△A′′C′′B′，若直线A′′C′′与y轴交于点K，直线A′′C′′与直线AD交于点I，则△DKI是否能为等腰三角形？若能，求出所有符合条件的KI的长；若不能，说明理由．三角形全等、相似存在性问题：例2．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝1，OC＝2，以O为直角顶点作Rt△COD，OD＝3.已知二次函数y＝x2＋52x－32的图象过D、B两点，连接BD，E为射线DB上的一点，过E作EH⊥x轴于H，点P为抛物线对称轴上一点，且在x轴上方，点Q在第二象限的抛物线上，是否存在P、Q使得以P、O、Q为顶点的三角形与△DEH全等？若存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．针对训练：1．如图，抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，设抛物线的顶点为D.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线y＝14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是－2.(1)求这条直线的解析式及点B的坐标．(2)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝15x2＋85x－4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(2，0)，C(0，－4)，直线l：y＝－12x－4与x轴交于D点，点P是抛物线y＝15x2＋85x－4上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F.过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC，PC，试问当P点横坐标为何值时，使得以点P，C，H为顶点的三角形与△ACD相似？4．如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，点N在抛物线上，其横坐标为52.连接CN，点P为直线CN上的动点，点Q在抛物线上，连接CQ、PQ得△CPQ，当△CPQ为等腰直角三角形时，求线段CP的长度．与四边形有关的存在性问题：例3．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，抛物线y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)与x轴交于A，C两点，与直线y＝x－1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.连接CE，将△CEB补成矩形，使△CEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．2．如图，抛物线y＝x2＋2x－3交x轴于点A，B.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE面积的最大值为54，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．二次函数相关的存在性问题答案等腰三角形存在性问题：例1.解：(1)∵抛物线y＝ax2－6x＋c过点B(－1，0)、C(0，－5)．∴a＋6＋c＝0，c＝－5，解得a＝－1，c＝－5.∴该抛物线为y＝－x2－6x－5.(2)①证明：∵PE∥y轴，∴PH⊥AO，∴∠AHP＝∠DHP＝90°.又∵PH＝PH，∠APE＝∠CPE，∴△AHP≌△DHP，∴AH＝DH.设点P(x，－x2－6x－5)，∴AH＝DH＝x－(－5)＝x＋5，PH＝－x2－6x－5.由PE∥y轴，得PHDH＝CODO，则－x2－6x－5x＋5＝5－2x－5.∵x＋5≠0，∴x＋1＝52x＋5，解得x1＝－72，x2＝0(不符合)．∴OH＝72，AH＝32，∴AEEC＝AHHO＝37.②能，分三种情况讨论．Ⅰ、若PA＝PE.由OA＝OC＝5，得∠AEP＝∠PAE＝∠ACO＝45°，∴∠APE＝90°.此时点P与点B重合．∴此时点P的坐标为(－1，0)．Ⅱ、若AP＝AE.由题意，可得∠APE＝∠AEP＝45°，又∵PH⊥AO，∴AH＝PH，即－x2－6x－5＝x＋5.解得x1＝－2，x2＝－5(不符合)．则y＝3，则点P的坐标为(－2，3)．Ⅲ、∵点A、C的坐标为(－5，0)、(0，－5)．∴直线AC的解析式为y＝－x－5.∴点E的坐标为(x，－x－5)．若AE＝PE，则PE＝|－x2－6x－5－(－x－5)|＝|－x2－5x|.又AE＝2AH＝2(x＋5)，则－x2－5x＝2(x＋5)或x2＋5x＝2(x＋5)，(x＋5)(2＋x)＝0或(x＋5)(2－x)＝0.解得：x1＝－2，x2＝－5(不符合)，x3＝2，x4＝－5(不符合)．当x1＝－2时，y1＝62－7，当x3＝2时，y3＝－62－7.∴此时点P的坐标为(－2，62－7)或(2，－62－7)．综上所述可得点P的坐标为(－2，3)、(－1，0)、(－2，62－7)或(2，－62－7)．针对训练：1.解：(1)当x＝0时，y＝4，则C(0，4)，∴OC＝4.又∵OC＝OB＝2OA，∴OB＝4，OA＝2，∴B(4，0)，A(－2，0)．又∵B(4，0)，A(－2，0)在抛物线y＝ax2＋bx＋4上，∴16a＋4b＋4＝0，4a－2b＋4＝0，∴a＝－12，b＝1.∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋4.(2)∵B(4，0)，C(0，4)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.∴∠MBN＝∠NMB＝∠QME＝45°，延长QE交y轴于R.又∵EQ∥AC，OC∥QM，∴∠EQM＝∠CRQ＝∠ACO，∴tan∠EQM＝tan∠ACO＝OAOC＝12.如图，过E作EH⊥QM于H，设EH＝m，则QH＝2m，EQ＝5m，MH＝m，EM＝2m，∴QM＝3m，∴m＝13QM.设Q(x，－12x2＋x＋4)，则M(x，－x＋4)，∴L＝3＋2＋53QM＝3＋2＋53（－12x2＋x＋4）－（－x＋4）＝3＋2＋53(－12x2＋2x)＝－3＋2＋56(x－2)2＋6＋22＋253，又∵0x4，∴当x＝2时，Lmax＝6＋22＋253，∴Q(2，4)．(3)∵Q(2，4)，A(－2，0)，∴AQ的解析式为y＝x＋2，∴G(0，2)，F(1，3)，∴BF＝B1F1＝32，△CFG为等腰三角形．设FF1＝2t，则PC＝2t.∴F1(1－t，t＋3)，当P在线段CO上运动时，则0t≤2且P(0，4－2t)①若FP＝FF1时，则1＋(1－2t)2＝2t2，∴t1＝t2＝1，∴FF1＝2t＝2，∴B1F＝B1F1－FF1＝22；②若PF＝PF1时，则1＋(1－2t)2＝(1－t)2＋(1－3t)2，∴t1＝0，t2＝23.又∵0t≤2，∴t＝23.∴FF1＝2t＝223，∴B1F＝B1F1－FF1＝723；∴B1F＝B1F1－FF1＝4－22.综上所述：B1F＝723，522，22或4－22.③若F1P＝F1F时，则(1－t)2＋(1－3t)2＝2t2，∴t1＝t2＝12.∴FF1＝2t＝22，∴B1F＝B1F1－FF1＝522；当P在线段OB上运动时，则2t4且P(2t－4，0)．∵∠F1FP90°，∴要使△PFF1为等腰三角形，则只有FP＝FF1，∴9＋(2t－5)2＝2t2，∴t＝5±22.又∵2t4，∴t＝5－22，∴FF1＝2t＝52－4，2.解：令y＝0，－12x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－2，x2＝32.∴A(－2，0)，B(32，0)．∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．3－00－32＝－22，∵AD∥BC，∴tan∠BAD＝22.设A′(2t－2，－t)则C′(2t，3－t)，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，(2t－42)2＋t2＝11，∴t1＝3(舍去)，t2＝73.∴A′(423，－73)，C′(723，23)．设直线A′C′的表达式为y＝kx＋b，将A′，C′的坐标代入解得k＝322，b＝－193.∴y＝322x－193.D(0，－1)到直线A′C′：y＝322x－193的距离d＝162233.①如图①，DK＝DI，∠KDI为钝角，KI＝32（33＋11）33.②如图②，DK＝DI，∠KDI为锐角，KI＝32（33－11）33.如图③，KD＝KI或ID＝IK，KI＝81111.综上所述，△KDI为等腰三角形，符合条件的KI的长为32（33＋11）33、32（33－11）33、81111.三角形全等、相似存在性问题：例2：解：设直线BD的解析式为y＝mx＋n，把B(1，2)，D(－3，0)代入BD的解析式得到y＝12x＋32.①若△OPQ≌△DHE.过点P作PT⊥y轴于T，过点Q作QS⊥PT于S.如图①.则有∠POQ＝∠HDE，∠OPQ＝∠DHE＝90°，则有PQPO＝tan∠POQ＝tan∠HDE＝ABAD＝12.易证△QSP∽△PTO，从而可得SQTP＝SPTO＝PQOP＝12，∴SQ＝12TP，SP＝12TO.∵xP＝－522×1＝－54，∴PT＝54，SQ＝58.设OT＝p，则有SP＝p2，则Q(－54－p2，p－58)，代入二次函数解析式，并整理得p2－4p－394＝0.解得p＝4±552，∵点