高等数学讲义

函数、极限与连续一1、函数函数的概念（1）定义：（2）函数的定义域：使函数有意义的实数的集合（3）函数值（4）函数的两要素：定义域和对应法则例：求函数的定义域函数的性质（1）有界性：（2）单调性：判断的符号（3）奇偶性：偶；奇例：为偶函数，为奇函数（4）周期性：反函数：复合函数=(),yfxxD(-)=()fxfx(-)=-()fxfx()Mfx(+T)=()fxfx()fx-1=()xfyyW，=()yfxx121yxx2()fxx3()fxx1、函数基本初等函数：常函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数初等函数：由基本初等函数（1）经过有限次的和,差,积,商运算（2）有限次的复合运算（3）且可用一个公式表示的函数。ycuyx,(0,1)xyaaalog,(0,1)ayxaasin,cos,tan,cot,yxyxyxyxarcsinyx2、极限•极限的概念（1）（2）•无穷小与无穷大（1）定义：倒数关系（2）无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小无穷小乘以有界函数是无穷小（3）无穷小的阶：高阶、低阶、同阶、等价-+lim()=lim()=lim()=xxxfxAfxfxA-+000lim()=lim()=lim()=xxxxxxfxAfxfxA2、极限•极限的四则运算•两个重要极限（1）（2）1011lim1+=elim1+=exxxxxx或00sinlim=10xxx3、连续性•连续的定义：•间断点及其分类（1）第一类间断点：左右极限都存在的间断点，包括可去间断点（左右极限相等）、跳跃间断点（左右极限不相等）（2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点、振荡间断点等。•闭区间上连续函数的性质（1）最值定理（2）介值定理（3）零点定理（方程根的存在性定理）：若在上连续，且则至少存在一个，使得。（是方程的一个根）（4）有界性定理00lim()=()xxfxfx()fx[a,b]()()0fafb(a,b)()=0f()=0fx4、典型例题•例1：求的定义域。•例2：设，求的定义域。•例3：设，求。•例4：设，求。•例5：求的奇偶性。•例6：设是以3为周期的奇函数，且，求。•例7：若，求。1-2arcsin-312xxy,14()sin,1xxfxxx2()fx21(),()=1+1+fxgxxx(),()fgxgfx2(1+)+3+5fxxx()fx2()ln+1+fxxx()fx(-7)=5f(1)f-1()=+1xfxx-112f4、典型例题•例8：求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）•例9：若，求。13-2lim21xxx212-3lim-1xxx223-9lim-5+6xxxx222+1lim-3+4xxxx30tan-sinlimxxxxsin2limxxx322++lim=8-2xxaxbx,ab+2lim+1xxxx210limcosxxx4、典型例题•例10：设，求使在连续。•例11：求下列函数的间断点并判断间断点的类型。（1）（2）•例12：证明方程在区间上有唯一实根。•例13：设在上连续，，证明：至少存在一点，使得。11-2,0(),0xxxfxaxa2-2=-5+6xyxx322-3+2-3=0xxx(1,2)()fx[1,2]1()2fx(1,2)()=f()fx-+，11+1=-1xxeye一元函数的微分学二1、导数•导数的概念（1）定义：（对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解）（2）左、右导数：（3）几何意义：曲线过点的切线方程：法线方程：00)(-)(-)(lim)(-)(lim)(000000xxxxxxfxxxfxfxxfxxfxf0-0+0()()=()fxAfxfxA0()fxk切=()yfx00(,())xfx000-()=()(-)yfxfxxx0001-()=-(-)()yfxxxfx1、导数•导数的计算（1）基本求导公式（熟记）（2）四则运算法则：（3）复合函数链式求导法则（4）反函数求导法（4）隐函数求导法（5）参数方程求导法：（6）对数求导法：幂指函数，连乘、除……•高阶导数：2-,vvuvuvuvuvuvuvuvu），（）（=(),==()dyxftdydtdxygtdxdt()=()gxyfx(4)(n),,,,yyyyy，……，……2、微分•微分的概念（1）定义：若在点处的增量可表示成，则称在点处可微，微分记作：（2）可微与可导的关系：可微可导连续有极限•微分的计算（1）（2）•微分的运算法则)(xoxAy()yfxx(+)-()yfxxfx()yfxx=dyAx0=0=()xxdyfxx=dyydx3、应用•中值定理（1）罗尔定理：若满足：在连续；可导；则至少存在一点，使得。（2）拉格朗日中值定理：•洛必达法则（1）型（2）型（3）型，型，型，型，型（化成型或型）()yfx[a,b](a,b)()=()fafb(a,b)()=0f()-()()=-fbfafba000-1000()()lim=lim=()()()fxfxAgxgx或003、应用•导数的应用（1）单调性：根据符号（2）极值和最值（3）凹凸性：根据符号（4）拐点（5）渐近线：水平渐近线铅直渐近线yy=,lim()=xyAfxA00=,lim()=xxxxfx4、典型例题•例1：设（1）求a,b,使在处连续（2）求a,b，使在处可导•例2：求曲线在点处的切线和法线方程。•例3：过点作曲线的切线，求切线方程。•例4：若是可导的偶函数，证明：是奇函数。•例5：设，求。•例6：设，求。1,1,)(2xbaxxxxf()fx=1x()fx=1x=-3sin+1xyex(0,2)(0,-4)=1+=+xtytt2=()yfx22,dydydxdx=(sin)xyxy()fx()fx4、典型例题•例7：设，求。•例8：求的微分。•例9：求的导数。•例10：设函数在上连续，在可导，且，证明至少存在一点，使得。•例11：求下列极限（1）（2）322)2-(1)-(xxxyylntanxyxedy()fx[0,a](0,a)()=0fa(0,a)()+()=0ffln(1+),0()=,0xxfxxx20tan-limsinxxxxx+ln(1+)limln(1+2)xxx4、典型例题（3）（4）（5）•例12：求的单调性与极值。•例13：证明：当时，。•例14：求的凹凸区间与拐点。•例15：求的渐近线。•例16：求的近似值。xxxlnlim03113lim-1-1-xxxsin0limxxx43=-4xyx1xxeex2=ln(1+)yxln=xyxsin29一元函数的积分学三1、不定积分•原函数：若是的一个原函数。•不定积分的概念：的全体原函数，不定积分记作：•不定积分的性质（导数和积分互逆）（1）（2）•基本积分公式（熟记）•不定积分的积分方法（1）直接积分法（加项减项、拆项、三角恒等变形等）如：)(),()(xFxfxF()fx()fx()=()+CfxdxFx()=()fxdxfx()=()+Cfxdxfx22sin+cos=1,xxsin2=2sincos,xxx21+cos2cos=,2xx221+tan=secxx，221+cot=cscxx22cos2=cos-sinxxx2=2cos-1x2=1-2sinx21-cos2sin=2xx1、不定积分（2）第一换元积分法（凑微分法）（3）第二换元积分法（根式代换，三角换元）如：令令，其中是的最小公倍数令令令（4）分部积分法（按照对、反、幂、三、指选择u），dxbaxf=axbt12,nnfxxdx，=nxtn12,nn22-faxdx，=sin,0,2xatt22+faxdx，=tan,0,2xatt22-fxadx，=sec,0,2xatt=-udvuvvdu2、定积分•定积分的概念（1）定义：，其中：（2）几何意义：曲边梯形的面积•定积分的性质（1）（2）（3）（4）若，则],[,)(baxdxxfba()=(),bbaafxdxftdt()=()+()bcbaacfxdxfxdxfxdx()0,[,]fxxab()0bafxdx()=0,aafxdx()=-()baabfxdxfxdx2、定积分•变限积分（1）变上限积分的概念：是关于上限的函数。（2）变限积分求导定理：dttfxa)(x()=()xaftdtfx()()xaftdt()()bgxftdt()()()xgxftdt=()()-()()fxxfgxgx=()()fxx=-()()fgxgx()()=()+()cxgxcftdtftdt2、定积分•牛顿-莱布尼茨定理设在区间上连续，是它的任一个原函数，则•定积分的积分方法（1）直接积分法（2）换元积分法（换元必换限）（3）分部积分法：•反常（广义）积分•定积分的应用求平面图形的面积)(xf[,]ab()Fx()=()=()-()babfxdxFxFbFaa=-bbaabudvuvvdua3、典型例题•例题1：已知的一个原函数为，求。•例题2：求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）)(xfsin2x()fxdx+1xdxx221(1+)dxxx221+xdxx21+xdxx321+xdxx21+2-3dxxxlnxdxxcos3+2xdx3、典型例题（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）xdxtansecxdx2sinxdx3cosxdx23sincosxxdx11+dxx31+dxxx221-xdxx2cosxxdx2lnxdx3、典型例题（19）•例3：求下列定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）sinxexdx102-1xdx2204-xdx240tanxdx94-1xdxx22-214+dxx10arctanxdx+-20xedx1-11dxx3、典型例题•例4：设是连续的奇函数，且证明：是偶函数。•例5：设连续，且，令，证明：（1）（2）在内有唯一的根。•例6：设是连续函数，且，求。若改成：呢？•例7：求极限。)(xf0()=()xFxftdt()Fx)(xf()0,abfx1()=()+()xxabFxftdtdtft()2Fx()=0Fx[,]ab)(xf120()=3-()fxxfxdx)(xf20()=3-()xfxxftdt00arctanlim1-cosxxtdtx3、典型例题•例8：求的极值。•例9：设，求。•例10：求由抛物线与直线围成的图形面积。•例11：求由抛物线、直线及轴围成的平面图形分别绕轴、轴旋转所得立体的体积。20)1-(xdttt0()=(-)()xgxxtftdt()gx2=-1yx=+1yx2=yx=2xxxy常微分方程四1、微分方程的基本概念•微分方程的定义含有未知函数的导数（或微分）的方程。形如：•微分方程的分类（按照阶、线性性