高中数学函数典型题目解法

高中数学常见题型解题方法参考一、已知对称点与函数解析式，求另一函数解析式点评：遇对称问题首先想到中点坐标公式。设出一点(x,y)(此点在所需要求出的函数解析式的图像上)，根据对称点，利用中点坐标公式表示出带有x和y且在已知函数的图像上的点，将此点代入已知函数解析式，解出x与y的关系即可12211()yxxyxfxxxx，即1()()fxfxxx综上所述，的解析式为1()()2()0,1fxhxxfxAx已知函数的图像与函数的图像关于点对称，求的解析式。()fx设的图像上任意一点的坐标为(x,y),P(0,1)PA点关于点的对称点'(,2)()Pxyhx在的图像上。二、函数单调性的运用解不等式。点评：当根据题目中的条件无法解出函数解析式的时候往往通过函数的性质解出答案，如单调性，奇偶性等，同时也考虑对函数求导。本题中由不等式构建出新函数h(x)，通过求导得到单调性，再结合题干求出零点即可得出解集。函数求导，找零点是解此类不等式的常用方法之一。1()(1),'()1,'()()2Ryfxffxfxfx定义在上的函数满足其中是的导函数，1()(),()02hxfxxhx设则得'()'()10hxfx1(1)(1)102hf()hxR函数在上单调递增1()xhx是函数的一个零点1()(1,)2fxx则不等式的解集是(1,)()1()(1,)2xhxfxx在上恒大于零即的解集为三、存在与任意性12121min2max12121min2min12121max2max12121max2max1212112211.()()()()2.()()()g()3.()()()()4.()()()()5.()=()()()xxfxgxfxgxxxfxgxfxxxxfxgxfxgxxxfxgxfxgxxxfxgxfxDgxDDD，使，使，使，使，使，，，212121122126.()=()()()xxfxgxfxDgxDDD，使，，，四、求参数范围，优先考虑参变分离点评：参变分离是此类问题的通常解法，其基本步骤是将原不等式进行分解，将只含有参数的式子移到不等式一边，根据其充分或任意性解出不等式另一边式子的最值，最后进行比较。在讨论的整个过程中要注意各变量的范围。本题还运用到了解此类问题常用的换元法和对勾函数的性质，而换元法的使用是为了更方便的整理成双勾函数，注意，使用换元法时一定要正确表示出新建变量的范围。2(2)220[4,)xaxax若不等式≥对任意恒成立，则实数a的取值范围是(5]，22222220(2)22022(2)422222xaxxaaxxxxxxaxxxxax≥≥≥≥≤222(2)2222225(5,)txxttttatttttaa令≥得≤又≥，即当时不等式右边取最小值为的取值范围为五、观察式子，构造函数点评：观察是数学学习中很重要的方法之一。比较式子的大小不外乎等于，小于和大于三种情况。对于此类题，题干上通常会有提示。比如g’(x)g(x)恒成立，我们将其移到一边会发现其类似某个求导公式的某个部分。我们将构造出的新函数求导后会发现分子或分母恰恰会用到g’(x)-g(x)0，最后根据单调性即可比较大小。构造思想在整个数学中是经常用到的。2(2)g(1)1.()(0,)g'()()ggxxgxee已知在上有恒成立，试比较与的大小。通过观察需要比较的式子我们可以发现分母的指数与充当分子的函数的自变量是一样的，那么我们可以将其变成相同字母，这时就出现了一个新函数。2()()'()()'()0()(0,)(2)(1)(2)(1)xxgxhxegxgxhxehxgghhee解：令得函数在上单调递增得点评：本题和1小题一样，也是观察式子构造函数。f(x)f’(x)tanx就是本题的提示信息，也需要把式子全部移到不等式的一边。但需要学生先将tanx变为sinx除以cosx的形式，这一步骤需要学生将分数求导公式牢记在心。最后通过单调性即可得出答案。通常我们遇到的都是抽象函数类的题型，充分运用函数的性质以及熟悉导数的知识是解题的关键。2.(0,)()'()()'()tan2fxfxfxfxx定义在上的函数，是它的导函数，且有恒成立，则下列选项正确的是.3()2()43Aff.2()()64Bff.3()()63CffC2sin()'()tan'()cos()cos'()sin'()sin()cos0()()sin'()sin()cos'()0sin()(0,)2xfxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxhxxfxxfxxhxxhx令在上单调递增()()63()()()()6633()()1633sinsin6232()()633()()163322hhffffhhffff，六、反向思考，根据提问找条件。32()(0)()230;gxaxbxcxdafxabc已知函数的导函数为，且1212(0)(1)0()ffxxfxxx，设，是函数的两个零点，求的取值范围。212121212121212=()4()()()xxxxxxxxxxfxgxfxxxxx分析：在高中阶段解有关的问题时通常将其变为，当出现，的时候通常会用到韦达定理，那么要使用韦达定理则需要寻找一元二次函数，而题上已告诉是三次函数的导函数，所以由求导公式得到为二次函数，解出和，最后根据题上的条件解出范围即可。解：22'()32()32(0)=(1)321230(2)3184(0)(1)(2)()0333gxaxbxcfxaxbxcfcfabcabccabffabab由导数公式得得，21212122(2)(2)0(2)(2):0()2(1)(2)012()(2)02122()42(1)3ababababbaaaabbaabbaabaxxxxxxba化简得：同时除以构造得点评：有关两个零点的问题通常会出现韦达定理的使用。解答本题(或类似题)时可先在草稿纸上写出两根之积与两根之和等于多少，再在题中寻找等于的结果，当无法直接找出时则考虑构造，本题中则出现了构造。当题中有三(多)个变量，如本题的abc，且其中一个(有些)变量为多余的时侯，通常将多余的变量用另外的我们所需要用到的两个(其他)变量来表示。2221212222(21)=33211(1)=323122(1)33312(,)33babaxx又得综上所述，的取值范围为七、作差比较大小与化二元变量为一元变量的结合1212()ln(0,),fxxxxxxxx已知，，任取两个不相等的正数且，若21000121()()0'().fxfxxfxxxxx存在使成立，求证01010101010101010()00,0lnln.(0,)lnlnlnlnlnlnxxxxfxxxabababxxxxxxxxxxx分析：欲证那么只要证得即可，但所给的函数含有对数，直接证明较困难，那么可以构造与之类似的式子。由对数的性质得若则题目上已限定，那么欲证则证得即可。将不等式的所有项移到一边则得01012210lnln()xxfxxxxxx，此时则需要作差比较，而要出现和则要从函数着手，根据题上的条件将，，代入函数，再作差化简，之后会得到含有的式子，则将二元变量化为一元变量，得到一个新的函数，研究其新函数的性质即可得出答案。解：00'()=ln1(0,)'()ln1fxxxfxx由导数公式得：，221100212211021lnln'()ln1lnlnln1xxxxfxxxxxxxxxxx由题意得：01221101121(lnln)lnlnlnln=1lnxxxxxxxxxxx因为要出现，则下一步作差221121211101212212121()lnlnlnlnlnln=(lnln)()=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx将等号右边的式子通分再合并同类项1221221210122121222110(lnln)()0lnln0(lnln)()0ln0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx由证得即可证得证即证221()xxx不等号左边为一个二元变量式子，而通常对此类式子则将二元变量变为一元变量，如遇对数则向对数看齐。对数的真数部分为，那么观察式子同时在两边除以21122211ln101ln10xxxxxxxx()左边的式子如果直接运算比较麻烦，那么我们通常使用换元法，注意，在使用换元法时必须准确表示出新元的取值范围2121(1,)()1ln101ln10xttxxxtttt令题干已给出证得在定义域上恒成立即可()t下一步我们可以令出关于的新函数1()ln1httt令22111'()thtttt由导数公式得'()01'()01(1,)()htthtttht令令又在定义域上单调递增2212101210101(lnln)()lnln=0lnlnxxxxxxxxxxxxx恒成立()求函数最值前应先求出函数的单调区间1(1)=0th当时()0ht在定义域上恒成立2121122221221211211()ln1ln10ln=(lnln)()00xhttttxxxxxxxxxxxxxxxxx，恒成立恒成立且21000121()()0'()fxfxxfxxxxx综上所述，在定义域内，存在使成立，且恒成立。21012021()()'()fxfxfxxxxxx点评：本题的思想常作为数学压轴题所包含的内容之一，而其中也常常会穿插构造法，韦达定理等，是综合性较强的题型，需要学生在平时的学习中将各种解题方法牢记在心。另外，对于此类型的题要敢于动笔，实在想不出什么头绪就将题目已给出的条件具体化，如本题中给出，那么我们就将其把，，代入将式子展开，总之尽可能的得分。八、参变分离与极限思想求零点和恒成立问题。()1.().0()().()()ln().()00xfxeaxaRafxFxfxxxfxxa已知函数，Ⅰ当时，求函数的单调区间；Ⅱ函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个；若不存在，请说明理由；Ⅲ若≥对≥恒成立，求实数的取值范围。分析：()afx第一问因已告诉的范围，将函数求导即可。()0()()0xFxFxaFxaaxxaa第二问涉及到零点问题，解出函数的单调区间，如与轴在定义域内有交点则表示有零点，即使的点。本题中因所给函数含有参数，那么可先令，然后进行参变分离将或只含的式子移到等号一边，另一边为只含有的式子，将只含有的式子令其为一个新函数，转化为求新函数与或只含的式子的交点个数的问题。min()0fxa第三问涉及到恒成立问题，而恒成立问题往往与最值有关，由本题给出的信息可知≥，遇最值往往要讨论单调形，再结合着的范围的讨论即可得出答案。解：()Ⅰ'()xfxea由导数公式得0a'()0ln()(ln,)fxxafxa令，即函数在上单调递增；'()0ln()(ln)fxxafxa令，即函数在，上单调递减；()(ln,)(ln).fxaa综上所述的增区间为，减区间为，logln(0=0ln0,1,0ln).axxNxxaeaeaxaaNaaNeaeexa