郑君里信号与系统讲义

《信号与系统》讲义第一章：绪论1第一章：绪论§1.1信号与系统（《信号与系统》第二版（郑君里）1.1）图1-1典型通信系统消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。信号（Signal）：InformationVector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。信息（Information）：消息，内容，情报（见牛津英文词典）。语用层次上的信息：效用信息语义层次上的信息：含义语法层次上的信息：形式（狭义信息——Shannon信息论）系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。本课程内容与定位：☻信号的表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成份的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。☻信号通过线性时不变系统的分析：♦系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。♦系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。☻支撑系统分析、信号处理两类课程♦四个系统分析层次（1）信号与系统：信号的表示，信号通过系统的响应，系统设计；（2）线性系统理论：系统的状态空间描述与运动分析，可控性、可观性、稳定性、鲁棒性、反馈系统时域设计；（3）高等系统分析：不确定性原理与反演问题；（4）复杂系统分析：现代系统论、非线性理论、人工生命方法。♦四个系统分析层次（1）数字信号处理（DSP）《信号与系统》讲义第一章：绪论2（2）现代信号处理（3）时间序列分析§1.2信号分类与典型确定性信号（《信号与系统》第二版（郑君里）1.2，1.4）确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。非确定性信号模糊信号：（例：高矮，胖瘦，冷热，亮暗，……）。周期信号：f(t)=f(t+nT)，n∈Z非周期信号：f(t)≠f(t+nT)，∀n∈Z伪随机信号：具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。按时间和取值的连续性，可组合成四种信号：模拟、阶梯、抽样、数字。连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。模拟信号：时间和取值都连续的信号。阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。图1-2抽样信号举例典型确定性信号：☻指数信号：()tftKeα=⋅（1-1）其中，K、α为实数。☻正弦信号：()()sinftAtωθ=+（1-2）注意与采样信号定义上的差别！《信号与系统》讲义第一章：绪论3其中，A为幅度，ω为角频率，θ为初相位。☻单边衰减正弦信号：()()()()00sin0ttftKettαω−=≥，，（1-3）其中，α0。☻复指数信号：()stftKe=（1-4）其中：()j,,stσω=+∈−∞+∞可见：()()()cosjsinstttftKeKetKetσσωω==+☻采样函数：()()sinSatfttt==（1-5）图1-3采样信号采样函数的性质（三点、三式）：♦采样函数()Sat为偶函数，在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当,2,,tnπππ=±±±时，信号值为零。♦()0Sad2ttπ∞=∫（1-6）♦()Sadttπ∞−∞=∫（1-7）♦()Sadtt∞−∞=∞∫（1-8）☻高斯函数：()2tftEeτ−=⋅（1-9）注意与抽样信号定义上的差别！-0.2122《信号与系统》讲义第一章：绪论4图1-4高斯函数高斯函数的性质：♦高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，即()0niiifttα=∑是一个高阶无穷小量，当t→∞。♦定义：比任何多项式的倒数衰减都快的函数称为速降函数。♦高斯函数是速降函数，是正实函数。♦高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。奇异函数：☻光滑函数：定义域Ω上任意阶导数都存在的函数的集合，记为()C∞Ω。☻奇异函数：非光滑函数统称为奇异函数。☻单位斜变函数：(),00,0ttRtt≥=（1-10）☻单位阶跃函数：()1,00,0tutt=（1-11）或()1,00,012,0tuttt==（1-12）图1-5斜升函数图1-6单位阶跃函数☻符号函数：《信号与系统》讲义第一章：绪论5()1,0sgn1,0ttt=−（1-13）或()1,0sgn1,00,0tttt=−=（1-14）☻门函数：()()()00,0Gtututtt=−−（1-15）图1-7符号函数图1-8门函数§1.3冲激函数与广义函数（《信号与系统》第二版（郑君里）1.4，2.9）冲激函数的三种常规定义：1）冲激函数的直观定义，狄拉克（Dirac）定义：()()d10,0ttttδδ+∞−∞==≠∫（1-16）图1-9冲激函数这不是高等数学所讲的常规意义下的积分，不是黎曼（Riemann）积分，也不是勒贝格（Lebesgue）积分。而是一种自洽定义的特殊积分。2）冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为1，等效宽度趋于0的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种：a)矩形函数逼近()01lim22tututτττδτ→+−−（1-17）《信号与系统》讲义第一章：绪论6图1-10矩形逼近b)金字塔函数逼近()()()()01lim1||ttututτδττττ→−+−−（1-18）图1-11金字塔逼近c)负指数函数逼近()||01lim,02tteττδττ−→（1-19）图1-12负指数逼近d)采样函数逼近()()()sinlimSalimkkktkktktktδππ→∞→∞=（1-20）图1-13采样函数逼近toτ−τ《信号与系统》讲义第一章：绪论7e)复指数函数积分逼近（与采样函数逼近相同）()()jjjj11limdd2211sinlimlim2jkttkkktktkkteekteettξξδξξππππ∞−−∞→∞−→∞→∞==−=∫∫，即采样逼近（1-21）f)高斯函数逼近()201limtteπττδτ−→（1-22）g)采样函数平方逼近()()()()2222sinsinlimlimkkktktktktktδππ→∞→∞=（1-23）h)？函数逼近()()22lim1nntntδπ→∞+（1-24）3）冲激函数的检验函数（testfunction）定义：♦检验函数的描述性定义：区间Ω(a,b)上的光滑函数()tφ称为检验函数，ab−∞∞。检验函数的全体记为()ΩD。♦用检验函数定义冲激函数：对于()tφ∀∈()ΩD，若有()()()()()d0fttftttφφφΩ=∫，（1-25）()()fttδ则：称为冲激函数。（1-26）冲激函数的性质：☻取样性质：若()ft有界，且在t=0连续，则有：()()()()0fttftδδ=（1-27）☻尺度变换性质：()()1ttδαδα=（1-28）☻偶函数性质：()()ttδδ−=（1-29）☻积分阶跃性质：()()dtutttδ−∞=∫（1-30）定义（积分算子）：《信号与系统》讲义第一章：绪论81dptτ−∞∫（1-31）为积分算子，则有()()1puttδ=（1-32）☻阶跃微分性质：()()ddutttδ=（1-33）定义（微分算子）：dpdt（1-34）为微分算子，则有：()()ptutδ=（1-35）☻筛性性质（原点）：()()()()()d0tttttδφδφφΩ==∫，（1-36）其中()tφ有界，且在t=0处连续。☻筛选性质（任意点）：()()()()()000dttttttttδφδφφΩ−=−=∫，（1-37）☻复合冲激函数：若()ft是t的单调函数（在t0()()0000ftft′=≠，的邻域内单调），，则()()()()100ftftttδδ−′=−（1-38）证明：()tφ∀∈()ΩD，考虑()()()()()()dfxxfxxxδφδφΩ=∫，令：()()()00ddyfxyfxyfxx′====，则，令：()0xabΩ∈取包含，的区间则：原式=()()()()()1dfafbyxyfxδφ′∫()()()()dfafbyyyδΨ∫，()()()1yxfxφΨ=′：其中()()()000xfxφ=Ψ=′()()()00xxxfxφδ=−′，《信号与系统》讲义第一章：绪论9()()()00xxfxxδφ′=−/，即：()()()()100ftftttδδ−′=−#证毕复合冲激函数的直观理解：①()()ftδ=∞的冲激位置在()ft=0，即在t0②点；其余点为0。()()ftδ的冲激强度不是1，而是与()ft的陡峭程度成反比。上述第②条可以通过广义极限逼近的冲激函数来理解：若()ft在t0()ft邻域内缓变（斜率小），则的取值靠近0，()()ftδ的值就大；若()ft在t0()ft邻域内快变（斜率大），则的取值就远离0，()()ftδ的值就小；是反比关系。☻若光滑函数()ft满足：()12,,|0==tttft，且()01,2,...ifti′≠∀=，，则：()()()()1iiiftftttδδ−′=−∑（1-39）冲激函数的广义函数（简称广函）定义：☻定义（承托／支撑，support，supp）：称()fx的非零点supp(){}(){}|0nfxXRfx=∈≠（1-40）为()fx的承托。即把函数“支撑”起来的那些点集。其中，(){}|0nXRfx∈≠为集合(){}|0nXRfx∈≠的闭包（集合上的所有点及其边界点叫做该集合的闭包，Closure）。☻定义（检验函数的严格定义）：设Ω⊆Rn1)φ是Ω上的光滑函数（即各阶导数处处存在）为开域，φ是Ω上的实（复）函数，具有以下性质：2)supp{φ}是Ω上的有界闭集（亦称紧支集，即闭包是有界的），则φ是Ω上的检验函数。检验函数的全体记为D(Ω)。通俗说法：开域上的函数是光滑的，函数的支集是有界闭区间。形式化语言的描述往往难以长久记忆，因此要记住形象化的描述。例1：()1101xxfxx−=≥，，《信号与系统》讲义第一章：绪论10图1-13检验函数例子(),Ω−∞+∞，{}[]supp11f=−，是有界闭集，但在0x=处()fx的左、右导数不相等，非光滑，所以，例1的()fx不是检验函数。例2：()1exp,110,1xxxfxx−−=≥{}[]supp1,1f=−是(),R−∞+∞中的有界闭集，()fx对(),xR∀∈−∞+∞无穷可导，()()fxΩ∈D∴。☻定义（广函）：给定函数列(){}1mmfx∞=，若对于()xφ∀∈D(Ω)，均有：()()()()limmmfxxfxxφφ→∞=，，（1-41）即：()()lim()()dmmfxxdxfxxxφφΩΩ→∞=∫∫（1-42）则称()fx是(){}1mmfx∞=的弱极限，或称为广义极限。反过来，称(){}1mmfx∞=弱收敛于()fx，而()fx称为D(Ω)上的广义函数。亦即：广义函数是函数序列的某种极限。☻定义（冲激函数）：对于()xφ∀∈D(Ω)，若有：()()()()()()()limd0mmfxxfxxfxxtφφφφ→∞Ω===∫，，（1-43）则：()()()limmmfxfxxδ→∞=（1-44）为冲激函数。注意：冲激函数的广义函数定义与检验函数定义的差异。☻广函导数的积分检验（与检验函数的内积运算）：()xφ∈D(Ω)在区间[,]ab之外恒为0。()fx是D(Ω)上的广函，则有：()()()()()()()1nnnfxxfxxφφ=−，，（1-45）即：《信号与系统》讲义第一章：绪论11()()()()()()()d1dbb