2015届高三数学(理)一轮复习课件：3.8正弦定理和余弦定理的应用举例(人教A版)资料

第三章三角函数、解三角形第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．上方下方栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．方位角从正______方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．3．方向角相对于某一正方向的角(如图③)．北栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°CD栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.33B.36C.63D.66D栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C,若∠CAB＝75°,∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．660m栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C,D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．测量距离[课堂笔记]栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A，B之间的距离为5km.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求距离问题的注意事项：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1.(2014·河南郑州市质量预测)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5.①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.②由∠C＝∠D得cosC＝cosD，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD＝120°,CD＝40m，求电视塔的高度.[课堂笔记]测量高度栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40米．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求解高度问题首先应分清：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．322a栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】在三角形BCD中，由正弦定理得asin45°＝BCsin60°⇒BC＝62a.在直角三角形ABC中，AB＝BCtan60°＝62a×3＝322a.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．测量角度栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关[课堂笔记]栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理得，ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBCsin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义．(2)在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】如图，连接A1B2.由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．函数思想在解三角形中的应用栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关[解](1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝900t2＋400－2·30t·20·cos（90°－30°）＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300，故当t＝13时，Smin＝103，v＝10313＝303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得：v2＝400t2－600t＋900＝4001t－342＋675.由于0t≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围．(2)关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示为关于角θ的三角函数，再利用三角函数的性质来求解．栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关如图，在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．8＋43栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】∵AB＝AD，B＝π3，∴△ABD为正三角形．在△ADC中，根据正弦定理，可得ADsinC＝43sin2π3＝DCsin（π3－C），∴AD＝8sinC，DC＝8sin(π3－C)，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin(π3－C)＋43栏目导引第三章三角函数、解三角形名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关＝8(sinC＋32cosC－12sinC)＋43＝8(12sinC＋32cosC)＋43＝8sin(C＋π3)＋