2015届高三数学一轮复习教案课件 第三章 导数及其应用3.1

§3.1导数的概念及其运算第三章导数及其应用基础知识题型分类思想方法练出高分1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．基础知识·自主学习1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系难点正本疑点清源要点梳理fx2－fx1x2－x1ΔyΔx基础知识题型分类思想方法练出高分2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|0xx，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础知识·自主学习2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系难点正本疑点清源要点梳理limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0ΔyΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx基础知识题型分类思想方法练出高分(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的．相应地，切线方程为．3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数,导函数有时也记作y′.(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础知识·自主学习2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系难点正本疑点清源要点梳理(x0，f(x0))切线的斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0fx＋Δx－fxΔx基础知识题型分类思想方法练出高分4.基本初等函数的导数公式(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础知识·自主学习2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系难点正本疑点清源要点梳理原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a0)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0nxn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x基础知识题型分类思想方法练出高分5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)fxgx′＝(g(x)≠0)．6.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础知识·自主学习2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系难点正本疑点清源要点梳理f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2y对uu对xy′u·u′x基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析1234532(1,0)y＝2x＋1基础知识·自主学习基础自测-2基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数解f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0＝limx→x0x3－x30x－x0＝limx→x0(x2＋xx0＋x20)＝3x20.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x30＝3x20·(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，由y＝x3，y＝3x20x－2x30，得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x30)，(－2x0，－8x30)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．题型分类·深度剖析题型一利用定义求函数的导数求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1；(3)计算导数f′(x)＝limΔx→0ΔfΔx.思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1利用导数的定义，求：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；解(1)∵ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝11＋Δx－1Δx题型分类·深度剖析＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx1＋1＋Δx＝－ΔxΔx1＋Δx＋1＋Δx＝－11＋Δx＋1＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx＋1＋Δx＝－12.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1利用导数的定义，求：(2)f(x)＝1x＋2的导数．解(2)∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx题型分类·深度剖析＝1x＋2＋Δx－1x＋2Δx＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx＝－1x＋2x＋2＋Δx，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－1x＋2x＋2＋Δx＝－1x＋22.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．题型分类·深度剖析题型二导数的运算思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二导数的运算求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．题型分类·深度剖析题型二导数的运算解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝ex(lnx＋1x)．(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，因此y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二导数的运算(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【例2】求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2求下列各函数的导数：(1)y＝11－x＋11＋x；(2)y＝cos2xsinx＋cosx；(3)y＝(1＋sinx)2；(4)y＝lnx2＋1.题型分类·深度剖析解(1)∵y＝11－x＋11＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.(2)∵y＝cos2xsinx＋cosx＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.(3)设u＝1＋sinx，则y＝(1＋sinx)2，由y＝u2与u＝1＋sinx复合而成．因此y′＝f′(u)·u′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．(4)y′＝(lnx2＋1)′＝1x2＋1·(x2＋1)′＝1x2＋1·122121x·(x2＋1)′＝xx2＋1.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．思维启迪解析探究提高【例3】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．题型分类·深度剖析题型三导数的几何意义思维启迪解析探究提高解(1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A