第三讲 随机过程的数字特征和特征函数

12）随机过程的数字特征•数学期望dxtxXxftXEtXm),()}({)(NiiiXtptxtm1)()()(2.4随机过程的统计描述随机过程的均值是时间t的函数，称为均值函数2统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本函数在各个时刻摆动的中心。3•方差})]()({[)(22tmtXEtXX)()}({22tmtXEX均方值和方差都是时间t的函数NiiXiXtptmtxt122)()]()([)(dxtxXftxmtx),(2)]()([)](2[tXEdxtxXfx),(2•均方值4•方差})]()({[)(22tmtXEtXX)()}({22tmtXEX222{()}()()XXEXttmt•均值与方差的物理意义：消耗在单位电阻上的总的平均功率平均交流功率平均直流功率-----单位电阻上的电压/1-----消耗在单位电阻上的瞬时功率)(tx)(2tx[]2/1-----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率)()(txmtxE{[]2/1}-----消耗在单位电阻上的瞬交流功率的统计平均值)()(txmtx56•自相关函数（重点）212121212121),;,()}()({),(dxdxttxxfxxtXtXEttRXNiNjijjittptxtx112121),()()(•描述了整个随机过程任意两个不同时刻的内在关系：线性相关性•若21tt)}(2{),(tXEttXR7自相关函数的物理意义)}2()1({)2,1(tXtXEttXR•2、反映不同随机过程的波形变化1、自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自相关函数的绝对值也越弱，当两个时刻重合时，其相关性应是最强的，所以RX(t,t)最大。)]2([)]1([)2,1(tXEtXEttXR不相关若：8•自协方差函数)2()1()2,1()2()1()}2()1({)]}2()2()][1()1({[)2,1(txmtxmttRtxmtxmtXtXEtmtXtmtXEttXCxXNiNjttijptXmtjxtXmtixttXC11)2,1()]2()2()][1()1([)2,1(•若21tt)(2)]([)(2)}(2{),(txtXDtxmtXEttXC中心化自相关函数•自相关系数)()(),(),(),(),(),(212122112121ttttCttCttCttCttXXXXXXX9•随机过程的不相关和独立以及正交的关系)2()1()2,1()2,1(txmtxmttRttXC如果0)2,1(ttXC)1(tX和)(2tX是不相关的。，则称，则称0)2,1(ttXR)(1tX和)(2tX是相互正交的。),(),(),,,(22112121txftxfttxxfXXX1t2t时刻的状态是相互独立的。和正交独立不相关充分条件正态随机过程10•若21tt•若均值与方差（总功率存在）存在，称为二阶矩过程，相关理论)2()1()2,1()2,1(txmtxmttRttXC•均值和自相关函数是随机过程最基本的特征)2()1()2,1()2,1(txmtxmttXCttR)(2)()](2[2tmttXEX11021)cos()}cos({)}({)(2000dtAtAEtXEtmX例随机相位信号0()cos()XtAt12120102201201222201201202012(,){()()}{cos()cos()}1{cos()cos[()2]}2111cos()cos[()2]2221cos()2XRttEXtXtEAtAtAEttttAttAttdAtt22221)(),()(AtmttRtXXX自相关函数和方差12•••••••x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)t1t2654321•)(1tx)(2tx)(3tx)(5tx)(1tX)(2tX12635421),()()()]()([),(212414112121ttptjxtxtXtXEttRijijiX41)2,1()2()1(ittiiptixtix)}]()({/)}()({)}[()({)}()(),()({),(112211221121txtXPtxtXPtxtXPtxtXtxtXPttpiiiiiii例2.1一个随机过程由四条样本函数构成，每条样本函数等概，时刻t1，t2上各条样本函数的取值给定，求),(21ttRX13•互相关函数3）两个随机过程的相关特性dydxttyxxyftYtXEttXYRXY)2,1;,()}2()1({)2,1(描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性t1t214•互协方差函数：)}]()2()}{()1([{)2,1(21tmtYtmtXEttXYCYX)2()1()2,1(tmtxmttRYXY中心化互相关函数t1t2描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性15•两个随机过程的独立，不相关和正交)2()1()2,1()2,1(tmtxmttRttXYCYXY0)2,1(ttXYC)2()1()2,1(tmtxmttRYXY不相关0)]()([)2,1(21tYtXEttRXY正交16•N维随机矢量的期望（维随机变量的相关性）n•N维随机变量用矢量表示TnXXXX],,2,1[XMmmnXEXEEX1][]1[•N维随机矢量的协方差]))([(TEXXEXXEDX][]2[]1[21221112nXDXDXDDXnnnn随机序列的相关特征•N维随机矢量的自相关][TXXERX]2[]22[]21[21221112nXErrrXErrrXEXRnnnn)])([(jEXjXiEXiXEij][jXiXErij17TXXRR•对称性：0FRFXT•半正定性：对于任意N维非随机向量F