2015高考数学(北师大版)一轮课件：第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理资料

诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．第6讲正弦定理和余弦定理诊断基础知识突破高频考点培养解题能力知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝____________＝_____________．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．12absinC12acsinB诊断基础知识突破高频考点培养解题能力辨析感悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要条件是A＞B．()(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.()√×诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2．解三角形(3)(2013·北京卷改编)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝59.()(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝916，则b＝6.()3．三角形形状的判断(5)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．()√√√×诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[感悟·提升]1．一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，如(1)．2．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，B．若2asinB＝3b，则角A等于()．A.π3B．π4C.π6D．π12(2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC＝________.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝3sinB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝32.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈0，π2，∴A＝π3.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－82×22＝25，即b＝5.所以sinC＝c·sinBb＝42×225＝45.答案(1)A(2)45规律方法已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析(1)由正弦定理，得23sin60°＝22sinC，解得：sinC＝22，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.(2)∵sinC＝23sinB，由正弦定理，得c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，又A为三角形的内角，∴A＝30°.答案(1)B(2)A诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点二判断三角形的形状【例2】(2014·九江模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．解(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.∵0°B120°，∴30°B＋30°150°.∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练2】(1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC的形状是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解析(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－12ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12ab2ab＝－14＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．(2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosAsinB，诊断基础知识突破高频考点培养解题能力所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的内角，故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案(1)A(2)D诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点三与三角形面积有关的问题审题路线(1)把2asinB＝3b变形为2a＝3bsinB⇒利用正弦定理asinA＝bsinB⇒得到sinA＝？⇒A为锐角，得出A＝？(2)由(1)知cosA的值⇒利用余弦定理⇒又b＋c＝8，求bc的值⇒利用三角形面积公式S＝12bcsinA求得．【例3】(2013·浙江卷)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3B．(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解(1)由2asinB＝3b，得2a＝3bsinB，又由正弦定理asinA＝bsinB，得asinA＝2a3，所以sinA＝32，因为A为锐角，所以A＝π3.(2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝36，又b＋c＝8，所以bc＝283，由S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力规律方法在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【训练3】(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，C.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝12或cosA＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理，得sinBsinC＝basinA·casinA＝bca2sin2A＝2021×34＝57.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccosA可以转化为sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，利用这些变形可进行等式的化简与证明．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答题模板6——解三角形问题【典例】(13分)(2013·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3bC.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[规范解答](1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32.又因为0＜A＜π，所以A＝5π6.(4分)(2)由(1)得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3，得诊断基础知识突破高频考点培养解题能力S＝12bcsinA＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，(6分)因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．(9分)所以，当B＝C，即B＝π－A2＝π12时，S＋3cosBcosC取最大值3.(13分)诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[反思感悟](1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．(2)在本题第(2)问中，不会结合正弦定理表达S的角的形式是失分的主要原因．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力答题模板第一步：定已知．即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；第二步：选定理．即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式；第三步：代入求值．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【自主体验】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力解(1)由c＝3asinC－ccosA