2015高考数学(文)一轮总复习(人教新课标・广东专用)课件：第五章 第四节 数列求和

菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情第四节数列求和菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝__________________(2)等比数列的前n项和公式：菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情1．裂项相消法的前提是什么？【提示】数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消．2．若数列{an}是等比数列，则数列{|an|}的前n项和可用什么方法求解？【提示】数列{|an|}仍然是等比数列，可用公式法求解．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情1．(人教A版教材习题改编)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15【解析】∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.【答案】A菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情2．一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200×(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)【解析】第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9)．【答案】A菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情3．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{1anan＋1}的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴a1＋4d＝5，5a1＋5×（5－1）2d＝15，∴a1＝1，d＝1，菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴1anan＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，∴数列{1anan＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…[phone]＝1－1101＝100101.【答案】A菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情4．设数列{an}的通项an＝4n－1，数列{bn}的通项bn＝3n－1，则数列{an·bn}的前n项和Tn＝________．【解析】Tn＝1·2＋4·5＋42·8＋…＋4n－1(3n－1)，①4Tn＝4·2＋42·5＋43·8＋…＋4n(3n－1)．②②－①得：3Tn＝－2－3(4＋42＋…＋4n－1)＋4n(3n－1)＝－2＋4(1－4n－1)＋4n(3n－1)＝2＋(3n－2)·4n.所以Tn＝(n－23)·4n＋23.【答案】(n－23)·4n＋23菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.(1)求使an＜0的n的最大值；(2)求Sn.【思路点拨】(1)由条件，求出an，利用数列的性质求an＜0的n的最大值；(2)将{an}转化为两个特殊数列求和．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情【尝试解答】(1)∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－3x－1的图象上，∴an＝2n－3n－1，∵an＜0，∴2n－3n－1＜0，即2n＜3n＋1，又∵n∈N*，∴n≤3，即n的最大值为3.(2)∵an＝2n－3n－1，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21－3×1－1)＋(22－3×2－1)＋…＋(2n－3×n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n＝2（1－2n）1－2－3·n（n＋1）2－n＝2n＋1－n（3n＋5）2－2.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情1．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和．2．常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情若数列{an}是1，(1＋12)，(1＋12＋14)，…，(1＋12＋14＋…＋12n－1)，…，试求数列{an}的前n项和Sn.【解】an＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－（12）n1－12＝2(1－12n)，∴Sn＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n)]＝2[(1＋1＋…＋1)n个－(12＋122＋…＋12n)]＝2[n－12（1－12n）1－12]＝2[n－(1－12n)]＝2n－2＋12n－1.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情公差不为0的等差数列{an}中，a1＝2，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{cn}的前n项和为Sn，且nancn＝1，求证：Sn＜1.【思路点拨】(1)由a1，a3，a7成等比数列，求得公差d，进而确定{an}的通项公式．(2)根据{cn}的通项公式特征，利用裂项相消法求得Sn，从而证得Sn＜1.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情【尝试解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3＝2＋2d，a7＝2＋6d.∵a1，a3，a7成等比数列，∴(2＋2d)2＝2(2＋6d)，又d≠0，∴可求d＝1.∴an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.(2)∵nancn＝1，又由(1)知an＝n＋1，∴cn＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.∴Sn＝11×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＜1.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情已知等差数列{an}中，a2＝8，S6＝66.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝2（n＋1）an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn，T10.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则由题意得a2＝a1＋d＝8，S6＝6a1＋6×52d＝66解之得a1＝6，d＝2.∴an＝6＋(n－1)·2＝2n＋4.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情(2)bn＝2（n＋1）an＝1（n＋1）（n＋2）＝1n＋1－1n＋2，∴Tn＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n＋1－1n＋2)＝12－1n＋2＝n2（n＋2），从而T10＝102（10＋2）＝512.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.【思路点拨】由an＋1＝Sn＋1－Sn得Sn与Sn＋1的递推关系，求得Sn和an，由an的特征，利用错位相减法求数列{nan}的前n项和Tn.【尝试解答】(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，∴Sn＋1＝3Sn.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，因此Sn＝3n－1(n∈N*)．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2(n≥2)，∴数列{an}的通项公式an＝1，n＝1，2·3n－2，n≥2.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan.当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②得：－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·3（1－3n－2）1－3－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，∴Tn＝12＋(n－12)·3n－1(n≥2)．又∵T1＝a1＝1也满足上式，∴Tn＝12＋(n－12)·3n－1(n∈N*)．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情1．本例(2)求Tn时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视讨论n＝1的情形．2．(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和．一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，若{bn}的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情(2012·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)且a2＝4，a6＝8a3.(1)求an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.【解】(1)由Sn＝kcn－k，得n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn－1，又a2＝4，a6＝8a3，∴kc（c－1）＝4，kc5（c－1）＝8kc2（c－1）解得c＝2，k＝2，因此a1＝S1＝2，an＝2n(n≥2)，于是an＝2n(n∈N*)．菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情(2)Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，①∴2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②由②－①，得Tn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2.菜单课后作业新课标·文科数学（广东专用）自主落实·固基础典例探究·提知能高考体验·明考情解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差