2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：11.2用样本估计总体

第2课时用样本估计总体•(一)考纲点击•1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．•2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算标准差．•3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．•4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．•5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．•(二)命题趋势•1．从考查内容看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差是高考考查的重点，同时考查对样本估计总体思想的理解，其中频率分布直方图常与概率等知识结合命题．•2．从考查形式看，题型多以选择题、填空题为主，属中低档题．•1．频率分布直方图•(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用；另一种是用•样本的频率分布估计总体的分布样本的数字特征估计总体的数字特征•(2)作频率分布直方图的步骤•①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．•②决定与．•③将数据分组．•④列频率分布表．•⑤画频率分布直方图．组距组数(3)在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用表示．各小长方形的面积总和等于1.各小长方形的面积•对点演练•(1)(材料习题改编)把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则在区间[10,50)上的数据的频率是•()•A．0.05B．0.25•C．0.5D．0.7解析：由题知，在区间[10,50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.答案：D•(2)(2014·长春模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为()••A．20B．25•C．30D．35•解析：由题意知a×10＋0.35＋0.2＋0.1＋0.05＝1，•则a＝0.03，故学生人数为0.3×100＝30.•答案：C•2．频率分布折线图和总体密度曲线•(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的，就得频率分布折线图．•(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．中点组距•3．茎叶图的优点•用茎叶图表示数据有两个突出的优点：•一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；•二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．•对点演练•(教材习题改编)在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是•()•A．23与26B．31与26•C．24与30D．26与30•解析：观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26.•答案：B•4．用样本的数字特征估计总体的数字特征•(1)众数，中位数、平均数•众数：在一组数据中，出现次数的数据叫做这组数据的众数．•中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．最多最中间平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该.相等(2)样本方差、标准差标准差s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]，其中xn是样本数据的第n项，n是，x是，是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．样本容量平均数标准差平方•对点演练•(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5、6、9、10、5，那么这两人中成绩较稳定的是________．解析：x＝7，s2乙＝4.4，则s2甲s2乙，故乙的成绩较稳定．答案：乙•1．众数、中位数与平均数的异同•(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．•(2)由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质．•(3)众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．•(4)某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．•2．利用频率分布直方图估计样本的数字特征•(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．•(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．•(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．•3．茎叶图中的数字排列•茎叶图中，茎上的数字由上而下按由小到大排列，叶上的数字由里向外按由小到大排列，便于找众数、中位数，便于分析数字的集中程度．4．数据的线性变化对均值和方差的影响一组数据的均值为x，方差为S2，标准差为S.(1)若这组数据中每个数都加上a，则所得数据的均值为x＋a，方差仍为S2，标准差仍为S；(2)若这组数据中每个数都乘以a，则所得数据的均值为ax，方差为a2S2，标准差为aS.•题型一频率分布直方图的应用•(2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．•(1)求图中a的值；•(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；•(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5•【解】(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.•(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．•(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.【归纳提升】解决频率分布直方图问题时要抓住(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即距形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．•针对训练•1．(2013·湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．•(1)直方图中x的值为________；•(2)在这些用户中，用电量落在•区间[100,250)内的户数为________．•解析：由频率分布直方图中总面积为1，得(0.0012＋0.0024×2＋0.0036＋x＋0.0060)×50＝1，解得x＝0.0044.•用电量在[100,250)内的频率为(0.0036＋0.0044＋0.0060)×50＝0.7，故户数为100×0.7＝70.•答案：(1)0.0044(2)70•题型二茎叶图的应用•(2013·课标全国Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：•0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.5•2．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4•服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：•3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.4•1．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5•(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？•(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解】(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y，由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得xy，因此可看出A药的疗效更好．•(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中的茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．•【归纳提升】(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．•(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．•针对训练•2．(2013·重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．•已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为•()•A．2,5B．5,5•C．5,8D．8,8解析：由茎叶图及已知得x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，即9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，解得y＝8，选C.答案：C•题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征•(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：•则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892【解析】设甲、乙两位射击运动员的平均成绩分别为x甲，x乙，方差分别为s2甲，s2乙.由题意得，x甲＝90＋－3＋1＋0－1＋35＝90，s2甲＝15[(x1－x甲)2＋(x2－x甲)2＋…＋(x5－x甲)2]＝15×[(－3)2＋12＋02＋(－1)2＋32]＝4；x乙＝90＋－1＋0＋1－2＋25＝90，s2乙＝15[(x1－x乙)2＋(x2－x乙)2＋…＋(x5－x乙)2]＝15×[(－1)2＋02＋12＋(－2)2＋22]＝2.∴成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为2.【答案】2•【归纳提升】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．•针对训练•3．(1)如右图是某电视台综艺节目举办的挑战•主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数•的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，•所剩数据的平均数和方差分别为•()•A．84,4.84B．84,1.6•C．85,4D．85,1.6•(2)(2012·山东)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是•()•A．众数B．平均数•C．中位数D．标准差解析