2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题•(一)考纲点击•1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．•2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．•3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．•(二)命题趋势•1．从考查内容看，以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离等)，同时也考查用线性规划知识解决实际问题．•2．从考查题型看，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属中低档题．•1．二元一次不等式表示的平面区域•(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成．不包括包括实线•(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．相同符号•对点演练•(1)(教材习题改编)如图所示的平面区域•(阴影部分)，用不等式表示为•()•A．2x－y－3＜0•B．2x－y－3＞0•C．2x－y－3≤0•D．2x－y－3≥0•解析：将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0.•答案：B•(2)若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．•解析：由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]＜0，•即(m＋5)(m－10)＜0，•∴－5＜m＜10.•答案：－5＜m＜10•2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求或的函数线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足的解一次最大值最小值一次线性约束条件可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题可行解最大值最小值最大值最小值对点演练(1)(教材习题改编)已知实数x、y满足x≥1，y≤2，x－y≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是()A.12B.14C．1D.18解析：作出可行域为如图所示的三角形，∴S△＝12×1×1＝12.答案：A(2)完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人的约束条件是________．答案：50x＋40y≤2000x∈N*y∈N*•3．应用•利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：•(1)在平面直角坐标系内作出可行域．•(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．•(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．•(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．对点演练(2013·广东)已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z＝x＋y的最大值是________．•解析：画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值．画出平面区域如图阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，z表示直线y＝－x＋z在y轴上的截距，由图知，当直线y＝－x＋z经过点B(1,4)时，目标函数取得最大值，为z＝1＋4＝5.•答案：51．二元一次不等式表示平面区域的确定方法(1)方法一：直线定界，特殊点定域．(2)方法二：对于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，①当B≠0时，若不等式可化为y＞－ABx－CB，则原不等式表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域；若不等式可化为y＜－ABx－CB，则原不等式表示直线Ax＋By＋C＝0下方的平面区域；②当B＝0时，若不等式可化为x＞－CA，则表示直线右侧的平面区域；若不等式可化为x＜－CA，则表示直线左侧的平面区域．•注意：要注意边界的虚实与不等号的关系，若不等式用“≥”或“≤”连接，边界画为实线；用“＞”或“＜”连接的，边界画成虚线．2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法：将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．3．常见的三种目标函数(1)z＝ax＋by，可看作一条动直线的纵截距的倍数；(2)z＝(x－a)2＋(y－b)2，可看作平面区域内的动点(x，y)与定点(a，b)之间距离的平方；(3)z＝y－bx－a，可看作平面区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)已知关于x，y的不等式组0≤x≤2，x＋y－2≥0kx－y＋2≥0，所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A．1B．－3C．1或－3D．0(2)(2013·北京)设D为不等式组2x－y≤0，x＋y－3≤0表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】(1)其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.(2)作出不等式组表示的可行域，利用数形结合思想求解．不等式组x≥0，2x－y≤0，x＋y－3≤0表示的区域D如图阴影部分所示．由图知点P(1,0)与平面区域D上的点的最短距离为点P(1,0)到直线y＝2x的距离d＝|2×1－0×1|12＋22＝255.【答案】(1)A(2)255•【归纳提升】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出图形后，面积关系可结合平面知识探求．针对训练1．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A．2B．1C．－13D．－12解析：不等式组2x－y－2≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，所表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，当M与C重合时，直线OM斜率最小．由x＋2y－1＝0，3x＋y－8＝0得C(3，－1)，∴直线OM斜率的最小值为kOC＝－13，故选C.答案：C题型二求线性目标函数的最值(2013·课标全国Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2•【解析】由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC)，由x＝1，y＝ax－3得A(1，－2a)，当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝12，故选B.【答案】B【归纳提升】1.求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．求形如z＝ax＋by这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．针对训练2．(1)(2013·天津)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()A．－7B．－4C．1D．2(2)(2014·广州调研)已知实数x，y满足x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝ax＋y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为________．•解析：(1)画出可行域如图所示．•由数形结合可知目标函数z＝y－2x在点A(5,3)处取最小值，即zmin＝3－2×5＝－7.故选A.•(2)画出平面区域所表示的图形，如图中•的阴影部分所示，平移直线ax＋y＝0，•可知当平移到与直线2x－2y＋1＝0重合，•即a＝－1时，目标函数z＝ax＋y的最小•值有无数多个．•答案：(1)A(2)－1•题型三线性规划的简单应用•(2014·龙岩模拟)某电器公司开发了甲、乙两种新型号的电器，已知两种电器的有关数据如下：资金每台电器所需资金(百元)周资金供应量(百元)甲电器乙电器成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种电器的周供应量，才能确保总利润最大，并求出最大利润．【解】设周供应甲电器x件，乙电器y件，总利润为z元，则30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，•目标函数z＝6x＋8y.•作可行域如图所示，•作直线l：6x＋8y＝0，•即3x＋4y＝0，把直线•l平移至l1的位置，即直线l1过可行域上的点M(4,9)时直线的截距最大，即z取值最大，为z＝6×4＋8×9＝96.•∴当周供应甲电器4件，乙电器9件，该公司获得总利润最大，为9600元．•【归纳提升】1.与线性规划有关的应用问题解题步骤是：(1)设未知数，确定线性约束条件及目标函数；(2)转化为线性规划模型；(3)解该线性规划问题，求出最优解；(4)调整最优解．•2．求解线性规划应用题的注意点：•(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．•(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．•(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．•针对训练•3．(2013·湖北)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为•()•A．31200元B．36000元•C．36800元D．38400元解析：先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1600x＋2400y，则约束条件为36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，•作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36800(元)．•答案：C易错易混：利用线性规划求最值误区【典例】(2013·课标全国Ⅰ)设x，y满足约束条件1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z＝2x－y的最大值为________．•【规范解答】可行域为平行四边形ABCD(如图)，•由z＝2x－y，得y＝2x－z.－z的几何意义是直线y＝2x－z在y轴上的截距，要使z最大，则－z最小，所以当直线y＝2x－z过点A(3,3)时，z最大，最大值为2×3－3＝3.•【答案】3•【易误警示】在解答本题时往往误认为目标函数对应的直线在点C处z有最大值．造成该错误的原因是忽视了z值与目标函数对应直线的截距相反．•除此之外，解决线性规划问题时，以下几点容易造成失误：•1．对区域边界的实虚不分而出现错误；•2．平移目标函数对应直线时，易出现与原区域边界的相对位置关系不准确；•3．解决实际问题，易忽略解的实际意义，如整解问题．