3.1.1数系的扩充和复数的概念公开课

数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩充与复数的引入３.１.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念人类在远古时代，由于生产需要，学会了以对应的方法来计算事物的个数，如“屈指”计数，“结绳”计数，“堆石子”计数等。经过长期的实践，把表示事物的个数：“一个”、“二个”、“三个”，……；或把表示事物的次序：“第一”、“第二”、“第三”，……抽象出来的数1，2，3，4，……叫做自然数。数系的扩充和复数的概念公元前6世纪的巴比伦用空出一格来表示“零”。“0”是印度人的卓越发明。我们知道“0”以前不属于自然数，零作为符号和作为数经历长期的发展过程。数系的扩充和复数的概念刘徽说明：“今两数得失相反，要令正负以名之”数系也就由自然数系扩展为整数系。从自然数到整数:自然数的加法仍是自然数，但相减呢不一定是自然数，于是有了负数.数系的扩充和复数的概念记载分数最古老的典籍是约公元前1500年埃及Ahmes著的草纸书。欧洲在15世纪以后才逐渐形成现代分数的算法。41365中国在秦始皇时期的历书（公元前246年）拟订一年的日数是天整数集对于加、减、乘能保证其封闭性。但对于除法运算不是封闭的。这样产生了分数。数系的扩充和复数的概念公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线与其一边不可公度。希腊人叫它“没有比”西方译为“irrationalnumber”我国的徐光启、李善兰把它译为“无理数”。整数与分数构成了有理数集。从有理数到实数经历了漫长的过程。从毕达哥拉斯学派发现与1不可公度，即不能表示成两个整数之比，到它的理论基本完成，经历了二○个世纪。在数学史上是罕见的。2数系的扩充和复数的概念数系的扩充自然数整数有理数无理数实数NZQR用图形表示包含关系：复习回顾数系的扩充和复数的概念实数集的出现给了我们一个范围异常之广的数的家庭。那它是否是封闭的呢？可以知道对于加、减、乘、除（除数不为零）以及乘方运算来说是封闭的。但是对于乘方的逆运算——开方来说就不是的。数系的扩充和复数的概念知识引入对于一元二次方程．012x12x因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根。这样我们有不得不重新考虑数集的扩展。我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足数系的扩充和复数的概念现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。思考:在i的规定下，i与实数相加的结果形式如何？相乘呢？复数有关概念③复数Z=a+bi(a∈R，b∈R)把实数a，b叫做复数的实部和虚部。形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.1.定义:②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a∈R，b∈R)可记作:z=a+bi（a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。数系的扩充复数的概念实部biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位。i复数的分类？讨论观察复数的代数形式当a=___且b=____时，则z=0当b=___时，则z为实数当b___时，则z为虚数当a=___且b___时，则z为纯虚数000≠0≠00数系的扩充复数的概念2、复数a+bi0)0)bb实数(虚数(复数的分类00)00)abab纯虚数(，非纯虚数(，数系的扩充和复数的概念1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。726180.i725+8i29331i2ii02、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数数系的扩充和复数的概念例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？i)m(mz11解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m练习:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数i)m(mmZ1222数系的扩充和复数的概念0bia则__________ba我们知道若如何定义两个复数的相等？注意：一般对两个复数只能说相等或不相等。00如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca不全为实数的两个复数不能比较大小。数系的扩充和复数的概念如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．例2已知，其中求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：根据复数相等的定义，得方程组)3(112yyx解得4,25yx,Rd,c,b,a若dicbiadbca数系的扩充和复数的概念如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,Rd,c,b,a若dicbiadbca2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.i1、若x，y为实数，且求x，y。iyixyx42223,4xy2x数系的扩充和复数的概念1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbiadbca