2015届高考数学一轮总复习 7-3简单的线性规划问题剖析

12015届高考数学一轮总复习7-3简单的线性规划问题基础巩固强化一、选择题1．若2x＋4y4，则点(x，y)必在()A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方[答案]D[解析]∵2x＋4y≥22x＋2y，由条件2x＋4y4知，22x＋2y4，∴x＋2y2，即x＋2y－20，故选D.2．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A．95B．91C．88D．75[答案]B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．3．(文)(2013·陕西)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值是()A．－6B．－2C．0D．2[答案]A2[解析]作出函数y＝|x|＝xx≥0－xx0和y＝2围成的等腰直角三角形的可行域如图阴影部分所示，则可得过交点A(－2，2)时，2x－y取得最小值－6，选A.(理)(2013·四川)若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是()A．48B．30C．24D．16[答案]C[解析]约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24，选C.4．(文)(2013·衡水模拟)已知点P(2，t)在不等式组x－y－4≤0，x＋y－3≤0，表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值为()A．2B．4C．6D．8[答案]B[解析]3画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．结合图形可知，点A到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由x＝2x＋y－3＝0得A点坐标为(2,1)，故所求最大距离为dmax＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4.(理)(2013·长春三校调研)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－2≤0x－y≥0y≥0所表示的平面区域内恰有两个点在圆x2＋(y－b)2＝r2(r0)上，则()A．b＝0，r＝2B．b＝1，r＝1C．b＝－1，r＝3D．b＝－1，r＝5[答案]D[解析]不等式组x＋y－2≤0x－y≥0y≥0所表示的区域如图中阴影部分所示，容易求得当b＝－1，r＝5时满足题意．5．(文)已知x，y满足不等式组x＋y≤2，y－x≥0，x≥0.目标函数z＝ax＋y只在点(1,1)处取最小值，则有()4A．a1B．a－1C．a1D．a－1[答案]D[解析]作出可行域如图阴影部分所示．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.只在点(1,1)处z取得最小值，则斜率－a1，故a－1，故选D.(理)已知约束条件x－3y＋4≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为()A．0a13B．a≥13C．a13D．0a12[答案]C[解析]作出可行域如图，∵目标函数z＝x＋ay恰好在点A(2,2)处取得最大值，故－1a－3，∴a13.56．(文)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤3，x＋2y－2≥0，所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为()A．25B.13C．3D.5[答案]B[解析]在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB|的最大值是13，选B.(理)设O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)满足不等式组x－4y＋3≤0，2x＋y－12≤0，x≥1，则使OM→·ON→取得最大值的点N的个数是()A．1B．2C．3D．无数个[答案]D[分析]点N(x，y)在不等式表示的平面区域之内，U＝OM→·ON→为x，y的一次表达式，则问题即是当点N在平面区域内变化时，求U取到最大值时，点N的个数．[解析]如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM→·ON→＝2x＋y，所以目标函数为z＝2x＋y，作出直线l：2x＋y＝0，显然它与直线2x＋y－12＝0平行，平移直线l到直线2x＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x＋y－12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.6二、填空题7．(2013·淮南第二次联考)已知x，y满足x≥1，y≥1，x＋y≤3.则目标函数z＝2x－y的最大值为________．[答案]3[解析]画出可行域如图，易知y＝2x－z过点C(2,1)时，zmax＝3.8．若由不等式组x≤my＋n，x－3y≥0，y≥0，(n0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.[答案]－33[解析]7根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上(如图)，∴OA为外接圆的直径，∴直线x＝my＋n与x－3y＝0垂直，∴1m×13＝－1，即m＝－33.9．设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3，则目标函数z＝4x＋y的最大值为________．[答案]11[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.三、解答题10．(文)某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析]设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：20x＋40y≤160，30x＋30y≤180，x≥0，y≥0x∈N，y∈N，8即x＋2y≤8，x＋y≤6，x≥0，y≥0x∈N，y∈N，作出可行域如图，解方程组x＋2y＝8，x＋y＝6，得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多．(理)(2013·山东诸城一中月考)为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两个项目，根据市场调研，知甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦时，可提供就业岗位24个，GDP增长260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦时，可提供就业岗位36个，GDP增长200万元．已知该地为甲、乙两个项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦时，若要求两个项目能提供的就业岗位不少于840个，问如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使GDP增长的最多．[解析]设甲项目投资x万元，乙项目投资y万元，增长的GDP为z万元，则投资甲、乙两个项目可增长GDP为z＝2.6x＋2y.依题意，知x、y满足x＋y≤3000，0.02x＋0.04y≤100，0.24x＋0.36y≥840，x≥0，y≥0，则此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．9把z＝2.6x＋2y变形为y＝－1.3x＋0.5z，其在y轴上的截距为0.5z.由图可知当直线y＝－1.3x＋0.5z经过可行域上的点B时，其纵截距取得最大值，也即z取得最大值．由x＋y＝3000，0.24x＋0.36y＝840，得x＝2000，y＝1000，即点B的坐标为(2000,1000)，故当甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元时，GDP增长得最多.能力拓展提升一、选择题11．(2013·东北师大附中二模)O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，若点N(x，y)的坐标满足x2＋y2≤4，2x－y0，y0，则OM→·ON→的最大值为()A.2B．22C.3D．23[答案]B[解析]如图，点N在图中阴影部分区域内，当O，M，N共线，且|ON→|＝2时，OM→·ON→最大，此时N(2，2)，OM→·ON→＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.12．(文)(2012·福建文，10)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数10m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2[答案]B[解析]本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x＝m过点P时，m取得最大值，由y＝2x，x＋y－3＝0，得，x＝1，y＝2，∴P(1,2)，此时x＝m＝1.[点评]对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．(理)设实数x，y满足条件4x－y－10≤0，x－2y＋8≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()A.256B.83C.113D．4[答案]A[解析]由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即a3＋b2＝1，11∴2a＋3b＝(2a＋3b)·(a3＋b2)＝136＋ba＋ab≥136＋2＝256，故选A.13．(2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元[答案]C[解析]设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则36x＋60y≥900y－x≤7y＋x≤21x，y∈N，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800，故选C.二、填空题1214．(2013·濮阳模拟)已知点A(2,0)，点P的坐标(x，y)满足x－4y＋3≤0，4x＋5y≤25，x－1≥0，则|OP→|·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是________．[答案]5[解析]|OP→|·cos∠AOP即为OP→在OA→上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值．由x－4y＋3＝0，3x＋5y＝25，可得交点的坐标为(5,2)，此时|OP→|·cos∠AOP取值最大，∴|OP→|·cos∠AOP的最大值为5.三、解答题15．(文)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析](1)依题意每天生产的伞兵个数为100－