2014版高考一轮复习 第5讲 复数

【2014年高考会这样考】考查复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的代数形式的运算．第5讲复数抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练复数的有关概念复数的几何意义复数的运算考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】复数的代数运算复数的有关概念复数的几何意义B级灵活掌握复数的几何意义单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲选择题填空题12、、选择题填空题12、、考点梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和________若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若_____________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔______________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔___________(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ→.虚部a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c;b＝－d考点梳理3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝___________________；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝_________，(z1＋z2)＋z3＝______________(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)．任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．一条规律助学微博三个充要条件(1)一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件；(2)两个复数互为共轭复数的充要条件；(3)两个复数相等的充要条件．两个性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.1．(2012·天津)i是虚数单位，复数7－i3＋i＝()．A．2＋iB．2－IC．－2＋iD．－2－i2．(2012·福建)若复数z满足zi＝1－i，则z等于()．A．－1－iB．1－IC．－1＋iD．1＋i3．(2012·安徽)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝()．A．－2－2iB．－2＋2iC．2－2iD．2＋2i4．(2013·济宁一模)复数z满足(1＋i)2·z＝－1＋i(i为虚数单位)．则在复平面内，复数z对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．(2012·上海)计算：3－i1＋i＝________(i为虚数单位)．考点自测单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解BADA1234512i【例1】►(2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【审题视点】解考向一复数的有关概念化为a＋bi(a，b∈R)的形式，根据纯虚数的定义求解．若ab＝0，则a＝0或b＝0，注意弄清复数x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的充要条件是“x＝0且y≠0”．充分与必要的实质还是集合的包含关系，站在子集的角度往往顺畅一些，由于{a＝0或b＝0}{a＝0且b≠0}，所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．【方法锦囊】当b＝0时，复数a＋bi是实数而不是纯虚数充分性不成立；若复数a＋bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，那么ab＝0必要性成立．答案B【训练1】复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()．A．2B．－2C．－12D.12【审题视点】解考向一复数的有关概念化为a＋bi(a，b∈R)的形式，根据纯虚数的定义求解．1＋ai2－i＝注意弄清复数x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的充要条件是“x＝0且y≠0”．充分与必要的实质还是集合的包含关系，站在子集的角度往往顺畅一些，由于{a＝0或b＝0}{a＝0且b≠0}，所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．【方法锦囊】1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a5＋2a＋15i，由纯虚数的概念知：2－a5＝0，∴a＝2.答案A考向二【例2】►在复平面内，复数2i1－i对应的点的坐标为___．【审题视点】复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．解析2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，复数的几何意义【方法锦囊】化简复数，结合复数的几何意义求解．故其对应的点的坐标是(－1,1)．【训练2】(2012·临沂模拟)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析依题意得2－iz＝2－i－1＋2i＝2－i－1－2i－1＋2i－1－2i＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是－45，－35，位于第三象限，选C.【例3】►(2012·山东)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()．A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i考向三复数的代数运算[审题视点]利用复数的乘除运算可求[方法锦囊]在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．解析z＝11＋7i2－i＝11＋7i2＋i2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.答案A【训练3】已知复数z1，满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.解析由(z1－2)(1＋i)＝1－i得，z1－2＝1－i1＋i＝－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.答案4＋2i热点突破29——灵活掌握复数的几何意义揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，复数主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，几乎每套高考试题中都有一个小题，并且一般在前三题的位置上，难度较小揭秘3年高考【真题探究】►(2011·山东)复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限一审：【教你审题】把复数z化为形如a＋bi(a，b∈R)的形式．二审：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何表示就是点Z(a，b)．【解答】z＝2－i2＋i【反思】在复数z＝a＋bi中，如果没有注明a，b∈R，而只是个形式上的复数，就要看其中a，b满足什么条件，然后根据这些条件把实部和虚部分别求出，把复数表示成标准的代数形式，才可以使用复数的几何意义．＝2－i22＋i2－i＝35－45i，它在复平面内对应的点35，－45在第四象限，揭秘3年高考解z1＝1－i，【试一试】设i为虚数单位，复数z1＝1＋i，z2＝2i－1，则复数z1·z2在复平面上对应的点在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限∴z1·z2＝(1－i)(2i－1)＝1＋3i，故其在第一象限．答案A其在复平面内对应的点的坐标为(1,3)．解析－1＋3i1＋i＝1＋2i，故选C.答案C一、选择题题号点击题号出答案单击显：题干/详解1234CDAA1．(2012·全国)复数－1＋3i1＋i＝()．A．2＋iB．2－iC．1＋2iD．1－2i2．(2012·广东)设i为虚数单位，则复数5－6ii＝()．A．6＋5iB．6－5iC．－6＋5iD．－6－5iA级基础演练单击转5-6题解析5－6ii＝5－6i·ii·i＝5i＋6－1＝－6－5i.答案D3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1||z2|，则实数a的取值范围是()．A．－1a1B．a1C．a0D．a－1或a1解析|z1|＝a2＋4，|z2|＝5，∴a2＋45，∴－1a1.故选A.答案A4．(2012·辽宁)复数2－i2＋i＝()．A.35－45iB.35＋45iC．1－45iD．1＋35i解析2－i2＋i＝2－i2－i2＋i2－i＝4－4i＋i25＝3－4i5＝35－45i.答案A解析Δ＝62－4×13＝－16，∴x＝－6±4i2＝－3±2i.答案A一、选择题题号点击题号出答案单击显：题干/详解56AD5．(2012·湖北)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()．A．－3＋2iB．3＋2iC．－2＋3iD．2＋3i6．(2012·浙江)已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝()．A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i单击转1-4题A级基础演练解析3＋i1－i＝3＋i1＋i1－i1＋i＝2＋4i2＝1＋2i.答案D解析因为(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i，所以它的虚部为－4.答案－47．(2013·佛山二模)设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．二、填空题题号点击题号出答案单击显：题干/详解8．(2013·青岛一模)已知复数z满足(2－i)z＝1＋i，i为虚数单位，则复数z＝________.78910-4410A级基础演练解析∵(2－i)z＝1＋i，∴z＝1＋i2－i＝1＋i2＋i2－i2＋i＝1＋3i5＝15＋35i.答案15＋35i9．(2012·重庆)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析∵(1＋i)(2＋i)＝a＋bi⇒1＋3i＝a＋bi，∴a＝1，b＝3⇒a＋b＝4.答案410．(2012·湖南)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.解析∵z＝(3＋i)2＝8＋6i，∴|z|＝82＋62＝10.答案1015＋35i解析z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－1－i，所以|z|＝2，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.答案C一、选择题题号点击题号出答案单击显：题干/详解1234CBDC1．(2012·新课标全国)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p42．(2013·西安质检)已知复数z满足z(1＋i)＝1＋ai(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不可能位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B级能力突破解析由条件可知：z＝1＋ai1＋i＝1＋ai1－i1＋i1－i＝a＋12＋a－12i；当