2014版高考数学一轮总复习 第27讲 平面向量的数量积课件 理 新人教A版

3理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量是否具有垂直关系．51.向量的数量积____________().______.abab已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量①叫做与的数量积或内积，记作②　_______________________　规定：零向量与任一向量的数量积为③cosab||cosabab01____________________2____________________3____________________.向量的数量积满足的运算律：④；⑤；⑥数量积的性质：abba()()()ababababcacbc621________________()2________30________4cos________________5||________||.eaeaaababab⑦⑧是与同方向的单位向量；⑨；⑩；⑪；⑫a×e|a|2aa⊥b||||abab1122()().23________..xyxyabababab若，，，，则⑬_____________向．向量在上的投影为⑭两个向量、垂直的充分必要条件是⑮　____量数量___积的坐标运___．定理__　算1212xxyy||abb12120xxyy1.下列命题中真命题的个数是()①|a·b|＝|a||b|；②|a·b|＝0⇔a＝0或b＝0；③|λa|＝|λ||a|；④λa＝0⇔λ＝0或a＝0.A．1B．2C．3D．4【解析】①②错，③④对．2.已知AB→＝(12，12)，AC→＝(－2，y)，若AB→⊥AC→，则y的值为()A．－12B．－2C.12D．2【解析】由AB→·AC→＝0，得－1＋12y＝0，所以y＝2.3.在平面直角坐标系中，O是原点，已知A(－3，－1)，B(4,1)，C(4，－3)，则向量BA→在OC→方向上的投影是－225.【解析】BA→＝(－3，－1)－(4,1)＝(－7，－2)，BA→在OC→上投影为BA→·OC→|OC→|＝4×－7＋－3×－25＝－225.4.若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是45°.【解析】由已知(a－b)·a＝0，a2－a·b＝0，所以2－2×2cosθ＝0，cosθ＝22，所以θ＝45°.5.已知a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝23，(a－2b)(a＋b)＝12.【解析】a·b＝4×2×cos120°＝－4，所以|a＋b|＝a＋b2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋4＋2×－4＝23.(a－2b)(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝16＋4－2×4＝12.一平面向量数量积的运算【例1】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，求：(1)(a＋2b)(2a－b)；(2)|a－b|.【解析】由已知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝|a||b|·cos60°＝12.(1)(a＋2b)(2a－b)＝2a2＋3a·b－2b2＝2×12＋3×12－2×12＝32.(2)|a－b|＝a－b2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×12＝1.【点评】向量的数量积运算是向量之间的一种运算，结果是一个数量，平面向量运算类似于多项式的乘法，在进行数量积运算时，要认清向量的模和夹角．已知点O是△ABC所在平面上的一点，CA＝CB，设a＝OA→，b＝OB→，c＝OC→，若|a|＝4，|b|＝2，求c·(a－b)．素材1【解析】因为|CA→|＝|CB→|，所以CA→2＝CB→2，所以(OA→－OC→)2＝(OB→－OC→)2，即OA→2－2OA→·OC→＋OC→2＝OB→2＋OC→2－2OB→·OC→，16－2a·c＝4－2b·c，所以c·(a－b)＝6.【点评】关于几何图形上点，要把握点所满足的条件，并将条件转化为向量式，结合向量运算与模运算的转化公式|a|2＝a2来解．二平面向量夹角的问题【例2】(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ；(2)若a＝(－1,2)，b＝(3，x)，且a，b的夹角θ为钝角，求x的取值范围．【解析】(1)由(2a－3b)(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.因为|a|＝4，|b|＝3，代入上式，求得a·b＝－6，所以cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.(2)因为a，b的夹角θ为钝角，所以a·b0，且a与b不共线，即－3＋2x0－x－6≠0，解得x32，且x≠－6.故x的取值范围为(－∞，－6)∪(－6，32)．【点评】(1)本题中数量积运算，从形式上看，实数中的乘法分配律依然成立，但在展开式中应注意带上点乘符号，同时要熟练运用公式cosθ＝a·b|a||b|；(2)当夹角为钝角时，要注意a与b不共线．平面内有向量OA→＝(1,7)，OB→＝(5,1)，OP→＝(2,1)，点X为直线OP上的一个动点．(1)当XA→·XB→取最小值时，求OX→的坐标；(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值．素材2【分析】因为点X在直线OP上，向量OX→与OP→共线，可以得到关于OX→坐标的一个关系式，再根据XA→·XB→的最小值，求得OX→的坐标，而cos∠AXB是XA→与XB→夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．【解析】(1)设OX→＝(x，y)．因为点X在直线OP上，所以向量OX→与OP→共线．又OP→＝(2,1)，所以x－2y＝0，即x＝2y.所以OX→＝(2y，y)．又XA→＝OA→－OX→，OA→＝(1,7)，所以XA→＝(1－2y,7－y)．同样XB→＝OB→－OX→＝(5－2y,1－y)．于是XA→·XB→＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.所以当y＝2时，XA→·XB→有最小值－8，此时OX→＝(4,2)．(2)当OX→＝(4,2)，即y＝2时，有XA→＝(－3,5)，XB→＝(1，－1)，所以|XA→|＝34，|XB→|＝2，所以cos∠AXB＝XA→·XB→|XA→|·|XB→|＝－41717.【点评】(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数．而(2)中即为数量积定义的应用．三平面向量数量积的综合应用【例3】已知向量a，b是两个非零向量，夹角为α，当a＋tb(t∈R)的模取最小值，(1)求t的值；(2)求证：b与a＋tb垂直．【解析】(1)因为|a＋tb|2＝(a＋tb)2＝t2b2＋2ta·b＋a2.当t＝－a·bb2＝－|a||b|·cosα时，|a＋tb|有最小值．(2)由(1)可知，t＝－a·bb2，所以b(a＋tb)＝a·b＋tb2＝a·b－a·bb2·b2＝0.所以b与a＋tb垂直．【点评】本题为向量与二次函数的综合题，解题时要注意向量的数量积为数，充分利用二次函数的对称轴求解．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(12，32)．(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)；(3)对(2)的结论，讨论函数k＝f(t)的单调性．素材3【解析】(1)证明：因为a·b＝3×12－1×32＝0，所以a⊥b.(2)因为c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，所以c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，所以c·d＝－4k＋t3－3t＝0，所以k＝f(t)＝t3－3t4(t≠0)．(3)由(2)知，f(t)＝14(t3－3t)，f′(t)＝14(3t2－3)，令f′(t)0得t1或t－1，令f′(t)0得－1t1，且t≠0.所以函数k＝f(t)的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．备选例题已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0，y0)，记θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.【解析】(1)设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得PM→＝－MP→＝(－1－x，－y)，PN→＝－NP→＝(1－x，－y)，MN→＝－NM→＝(2,0)．所以MP→·MN→＝2(1＋x)，PM→·PN→＝x2＋y2－1，NM→·NP→＝2(1－x)．于是，MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→是公差小于零的等差数列，等价于x2＋y2－1＝12[21＋x＋21－x]21－x－21＋x0，即x2＋y2＝3x0.所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不包括与y轴的交点)．(2)点P的坐标为(x0，y0)，PM→·PN→＝x20＋y20－1＝2，|PM→|·|PN→|＝1＋x02＋y20·1－x02＋y20＝4＋2x04－2x0＝24－x20.所以cosθ＝PM→·PN→|PM→|·|PN→|＝14－x20.因为0x0≤3，所以12cosθ≤1,0≤θπ3，sinθ＝1－cos2θ＝1－14－x20，所以tanθ＝sinθcosθ＝1－14－x2014－x20＝3－x20＝|y0|.【点评】(1)本题是关于平面向量的一道综合创新题，它考查了平面向量的基本概念及其运算，是一个向量与平面解析几何、三角函数及不等式的综合题，是在知识网络的交汇点处设计的一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却是向量中最基本也是最重要的知识．(2)平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起，因此，涉及角度与距离有关的问题，可优先考虑用向量的数量积进行处理．()()(0)10abcabcabacbcabab0本讲是平面向量这一单元的重要内容，要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律．向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律、消去律；或，但满足交换．律和分配律．121222222cosxxyyxyabababaa公式；；的关系非常密切，必须能够灵活综．合运用．1221121234500 xyxyxxyyabab通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直．与要区分清楚．由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法．其中坐标法是最常用，最重要的一．．种方法．．