高考圆锥曲线细分考点经典例题解析版

2015年高考一轮复习讲义知识模块一圆锥曲线一、知识体系椭圆：项目内容第一定义平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹叫椭圆。第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(01)ee的点的轨迹叫椭圆。图形标准方程22221()xyaboab22221()xyaboba几何性质范围||,||xayb||,||xbya顶点与长短轴的长1212(,0),(,0),2(0,),(0,),2AaAaaBbBbb长轴长短轴长1212(0,),(0,),2(,0),(,0),2AaAaaBbBbb长轴长短轴长焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()FcFcFFccab其中1222212(0,),(0,)||2()FcFcFFccab其中准线方程2axc2ayc焦半径左1020,PFaexPFaex右下1020,PFaeyPFaey上焦准距22abpccc离心率2(01),1cbeeeaa（e越小，椭圆越近似于圆）准线间距22adc对称性椭圆都是关于,xy轴成轴对称，关于原点成中心对称通径22bqa焦点三角形椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为22ac，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三角形椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为4a。参数方程cos(sinxayb为参数）cos(sinxbya为参数）2015年高考一轮复习讲义双曲线：项目内容第一定义平面内与两个定点12,FF的距离之差等于常数（小于12||FF）的点的轨迹叫双曲线。第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)ee的点的轨迹叫双曲线。图形标准方程22221(,)xyaboab22221(,)yxaboab几何性质范围||,xayR,||xRya顶点与实虚轴的长12(,0),(,0),22,AaAaabab实轴长虚轴长叫等轴双曲线12(0,),(0,),22,AaAaabab实轴长虚轴长叫等轴双曲线焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()FcFcFFccab其中1222212(0,),(0,)||2()FcFcFFccab其中准线方程2axc2ayc焦半径当00(,)Pxy在右支上时左1020,PFexaPFexa右当00(,)Pxy在左支上时左1020(),()PFexaPFexa右当00(,)Pxy在上支上时下1020,PFeyaPFeya上当00(,)Pxy在下支上时下1020(),()PFeyaPFeya上渐近线方程2222(0)bxyyxaab或2222(0)ayxyxbab或焦准距22abpccc离心率2(1),1cbeeeaa（e越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e准线间距22adc对称性双曲线都是关于,xy轴成轴对称，关于原点成中心对称通径22bqa焦点三角形双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三角形双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。参数方程sec(tanxayb为参数）tan(secxbya为参数）2015年高考一轮复习讲义抛物线：项目内容定义平面内到定点F的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。图形标准方程22ypx(0)p22ypx(0)p22xpy(0)p22xpy(0)p几何性质范围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR开口方向向右向左向上向下焦准距(0)pp顶点坐标坐标原点（0，0）焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF准线方程:2plx:2plx:2ply:2ply对称轴x轴x轴y轴y轴离心率1e通径长2p焦半径0||2pPFx0||2pPFx0||2pPFy0||2pPFy2015年高考一轮复习讲义能力测试点25椭圆题型1：椭圆的定义和方程（1）椭圆的定义【经典例题1】：椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．【经典例题2】椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MFeAM1均可用此法．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：．过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M．说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．【经典例题3】已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．2015年高考一轮复习讲义解法一：由142222bybx，得ba2，bc3，23e．由椭圆定义，baPFPF4221，得bbbPFbPF34421．由椭圆第二定义，edPF11，1d为P到左准线的距离，∴bePFd3211，即P到左准线的距离为b32．解法二：∵edPF22，2d为P到右准线的距离，23ace，∴bePFd33222．又椭圆两准线的距离为bca33822．∴P到左准线的距离为bbb32332338．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．（2）离心率e【经典例题1】已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．【经典例题2】如果椭圆221259xy上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是()(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1分析：e=,P点到左准线的距离为2.5，它到左焦点的距离是2，2a=10,P点到右焦点的距离是8，∴P点到右542015年高考一轮复习讲义焦点的距离与到左焦点的距离之比是4:1。解：B（3）椭圆方程【经典例题1】已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx．当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy【经典例题2】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．同步练习1.已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值．解：方程变形为12622myx．因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m．2015年高考一轮复习讲义又2c，所以2262m，5m适合．故5m．2.已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122nymx(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)．由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得,11)32(,1)2()3(2222nmnm即,112,143nmnm所以151m，51n．故所求的椭圆方程为151522yx．4．已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．(1)求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．2015年高考一轮复习讲义解：(1)如上图，62a，)0,2(2F，22AF，设P是椭圆上任一点，由6221aPFPF，22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．由22AFPFPA，∴26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线．建立A、2F的直线方程02yx，解方程组4595,0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P．综上所述，P点与1P重合时，1PFPA取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA取最大值26．(2)如下图，设P是椭圆上任一