高中数学必修四(人教版)课件 第一章 三角函数 1.4.2(一)

课前自学课堂互动课堂达标1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)目标定位1.了解三角函数的周期性；2.会求形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的最小正周期；3.理解正(余)弦函数的奇偶性.课前自学课堂互动课堂达标1.函数的周期性自主预习(1)对于函数f(x)，如果存在一个_________，使得当x取定义域内的_________时，都有_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________.非零常数T每一个值f(x＋T)＝f(x)最小正周期课前自学课堂互动课堂达标2.正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝_____，cos(x＋2kπ)＝______知y＝sinx与y＝cosx都是_____函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.sinxcosx周期3.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是____，定义域关于_____对称.(2)由sin(－x)＝_______知正弦函数y＝sinx是R上的奇函数，它的图象关于原点对称.(3)由cos(－x)＝______知余弦函数y＝cosx是R上的____函数，它的图象关于_____对称.R原点－sinxcosxy轴偶课前自学课堂互动课堂达标即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数在第一象限是增函数.()(2)在锐角△ABC中，总有sinAcosB.()(3)若x∈－π6，56π，则sinx∈－12，12.()(4)当π4x54π时，有sinxcosx.()××√√课前自学课堂互动课堂达标提示(1)94π，π4都是第一象限角，且94ππ4，但sin94π＝sinπ4，故错.(2)△ABC是锐角三角形，则A＋Bπ2，Aπ2－B，故sinAsinπ2－B＝cosB.(3)π2∈－π6，π6，而sinπ2＝1，(4)如图，在同一坐标系中，画出y＝sinx，y＝ocsx，x∈[0，2π]图象，可知正确.课前自学课堂互动课堂达标2.函数f(x)＝1＋sinx的最小正周期是()A.π2B.πC.3π2D.2π解析∵函数y＝sinx的周期为2π，∴函数f(x)＝1＋sinx的最小正周期是2π.答案D课前自学课堂互动课堂达标3.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析函数的定义域为R，又f(x)＝－sinx，f(－x)＝－sin(－x)＝sinx＝－f(x)，故此函数是奇函数.答案A课前自学课堂互动课堂达标4.若函数f(x)的最小正周期为2，且f(0)＝2，则f(2)＝______.解析由题意可知，f(2)＝f(0＋2)＝f(0)＝2.答案2课前自学课堂互动课堂达标类型一求正、余弦函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期：(1)y＝sin2x＋π3；(2)y＝|cosx|.解(1)法一令z＝2x＋π3，则函数y＝sinz是周期函数，且周期为2π，即y＝sin(z＋2π)＝sinz，亦即sin2x＋π3＋2π＝sin2x＋π3∴sin2x＋π＋π3＝sin2x＋π3∴y＝sin2x＋π3的周期为π.课前自学课堂互动课堂达标法二y＝sin2x＋π3，其中ω＝2，∴T＝2π|2|＝π.(2)作出函数y＝|cosx|的图象，如图所示，由图象可知，此函数的周期为π.课前自学课堂互动课堂达标规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期.(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0(或y＝Acos(ωx＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式T＝2π|ω|来求解.②对于形如y＝|Asinωx|(或y＝|Acosωx|)的周期情况常结合图象法来解决.课前自学课堂互动课堂达标【训练1】求下列函数的最小正周期.(1)y＝cos2x；(2)y＝sin12x；(3)y＝2sinx3－π6.解(1)定义法：令u＝2x，则cos2x＝cosu是周期函数，且最小正周期为2π.∴cos(u＋2π)＝cosu，则cos(2x＋2π)＝cos2x，即cos[2(x＋π)]＝cos2x.∴cos2x的最小正周期为π.公式法：∵ω＝2，∴T＝2π|ω|＝π，故y＝cos2x的周期为π.课前自学课堂互动课堂达标(2)如果令u＝12x，则sin12x＝sinu是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin12x＋2π＝sinx2，即sin12（x＋4π）＝sin12x.∴y＝sin12x的最小正周期是4π.(3)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即2sin13（x＋6π）－π6＝2sinx3－π6.∴y＝2sinx3－π6的最小正周期是6π.课前自学课堂互动课堂达标类型二正、余弦函数周期性的应用(互动探究)【例2】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx.(1)求f5π3的值.(2)求32π，2π上f(x)的解析式.课前自学课堂互动课堂达标[思路探究]探究点一(1)怎样将53π转化成已知区间0，π2上的角？提示π是f(x)的周期，则－π，－2π也是f(x)的周期.探究点二(2)求32π，2π上f(x)的解析式关键是什么？提示将32π，2π上的角转化为0，π2上的角即可.课前自学课堂互动课堂达标解(1)∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3∵f(x)是R上的偶函数，∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.∴f5π3＝32.(2)令x∈32π，2π，则x－2π∈－π2，0，∴2π－x∈0，π2.由已知得f(x)＝f(x－2π)＝f(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sinx，∴f(x)＝－sinx，x∈32π，2π.课前自学课堂互动课堂达标规律方法解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.课前自学课堂互动课堂达标【训练2】若f(x)是以π2为周期的奇函数，且fπ3＝1，求f－5π6的值.解因f(x)是以π2为周期的奇函数，所以f－5π6＝f－5π6＋π2＝f－π3＝－fπ3＝－1.课前自学课堂互动课堂达标类型三正、余弦函数奇偶性的判断【例3】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2sin2x＋52π；(2)f(x)＝2sinx－1；(3)f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)；(4)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.课前自学课堂互动课堂达标解(1)函数定义域为R，且f(x)＝2sin2x＋52π＝2sin2x＋π2＝2cos2x，显然有f(－x)＝f(x)恒成立.∴函数f(x)＝2sin2x＋52π为偶函数.(2)由2sinx－1≥0，即sinx≥12，得函数定义域为2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z)，此定义域不关于原点对称.∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.课前自学课堂互动课堂达标(3)函数定义域为R.f(－x)＝lg(－sinx＋1＋sin2x)＝lg1sinx＋1＋sin2x＝－lg(sinx＋1＋sin2x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)为奇函数.(4)由1cos0,cos10,xx得cosx＝1，∴x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.课前自学课堂互动课堂达标规律方法判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称.如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.课前自学课堂互动课堂达标【训练3】判断下列函数的奇偶性：(1)y＝sinx＋tanx；(2)f(x)＝cos(π－x)－xcosπ2－x.解(1)函数的定义域是{x∈R|x≠kπ＋π2，k∈Z}.又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－(sinx＋tanx)＝－f(x)，∴此函数是奇函数.(2)函数的定义域是R，f(x)＝cos(π－x)－xcosπ2－x＝－cosx－xsinx，f(－x)＝－cos(－x)－(－x)sin(－x)＝－cosx－xsinx＝f(x)，∴此函数是偶函数.课前自学课堂互动课堂达标[课堂小结]1.对周期函数概念的三点说明(1)对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数.(2)并非所有周期函数都有最小正周期.例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所以非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期.(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.课前自学课堂互动课堂达标2.对三角函数奇偶性的两点说明(1)判断三角函数的奇偶性首先要看定义域是否关于原点对称，否则不具有奇偶性.(2)若三角函数式比较复杂，可先利用三角公式先化简，再判断.课前自学课堂互动课堂达标1.函数f(x)＝2sinπ2－x是()A.T＝2π的奇函数B.T＝2π的偶函数C.T＝π的奇函数D.T＝π的偶函数解析f(x)＝2sinπ2－x＝2cosx，故选B.答案B课前自学课堂互动课堂达标2.函数y＝sin4x＋32π的周期是()A.2πB.πC.π2D.π4解析y＝sin4x＋32π＝－cos4x，T＝2π4＝π2.答案C课前自学课堂互动课堂达标3.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝____.解析f(8)＝f(8－3×3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.答案－2课前自学课堂互动课堂达标4.若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周期函数.解f(x)是周期函数.f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).∴f(x)是周期函数且2是它的一个周期.