空间向量及其运算

第九章（B）直线、平面、简单几何体§9.7空间向量及其运算基础知识自主练习要点梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向______且模______的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量．(4)共面向量：_____________________的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是______________________.存在实数λ，使得a＝λb.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta①其中a叫做直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→=a,则①可化为OP→＝___________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)共面向量定理的向量表达式：p=________，其中x，y∈R，a、b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMN→+yMB→或对空间任意一点O，有____________________或OP→＝xOM→+yOA→＋zOB→，其中x+y+z=__．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．OA→＋tAB→xa+yb1xa＋yb＋zcOPOMxMAyMB3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作_________，其范围是，若〈a，b〉＝π2，则称a与b_________，记作.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则___________________叫做向量a，b的数量积，记作____，即_____________________．〈a，b〉互相垂直|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉0≤〈a，b〉≤πa⊥b(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝__________；②交换律：a·b＝______；③分配律：a·(b＋c)＝__________.4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔_______，________，_________(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________(a，b均为非零向量)．λ(a·b)b·aa·b＋a·ca1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3=0(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，dAB＝AB=________________________________________(a2－a1)2＋（b2－b1）2＋（c2－c1）2.a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.[难点正本疑点清源]1．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将收到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，或cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；(3)|a|2＝a·a，用于求距离等等．2．要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式．利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cosθ＝a·b|a||b|即可．基础自测1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．其中不正确．．．的所有命题的序号为__________．解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．②③④2.在空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则PQ→＝__________.解析如图PQ→＝PC→＋CD→＋DQ→PQ→＝PA→＋AB→＋BQ→∴2PQ→＝(PC→＋PA→)＋(DQ→＋BQ→)＋CD→＋AB→＝0＋0＋a－2c＋5a＋6b－8c＝6a＋6b－10c∴PQ→＝3a＋3b－5c.3a＋3b－5c3．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.解析a与b共线，即2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.16－324．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．解析AB＝(3,4,5)，AC＝1，2，2，AD＝9，14，16，ADxAByAC即9，14，16＝3x＋y，4x＋2y，5x＋2y，∴2,3,xy从而A、B、C、D四点共面.共面5.2010·广东若向量a＝1，1，x，b＝1，2，1，c＝1，1，1，满足条件c－a·2b＝－2，则x＝.解析∵a＝1，1，x，b＝1，2，1，c＝1，1，1，∴c－a＝0，0，1－x，2b＝2，4，2.∴c－a·2b＝21－x＝－2，∴x＝2.2题型分类深度剖析题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：1AP→；2A1N→；3MP→＋NC1→.思维启迪：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.解1∵P是C1D1的中点，AP→=AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→=a+c+12b.2∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→.＝－a＋b＋12c.3∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12AA1→+AP→=－12a+(a+c+12b)=12a+12b+c.又1111111222NCNCCCBCAAADAAc+a.∴1111313222222MPNC.aaabbccc探究提高用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.变式训练1如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2MGGN,若OG=xOA→＋yOB→＋zOC→，则x,y,z的值分别为__________.解析OG=OMMG=12OA→＋23MN→=12OA→＋23(ON→－OM→)=12OA→＋23ON→－23OM→=12OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23×12OA→=16OA→＋13OB→＋13OC→∴x，y，z的值分别为16，13，13.16，13，13变式训练2已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．（1）判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解（1）由已知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面．（2）由（1）知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．题型三空间向量性质的应用例3已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2)C(-3,0,4),设a＝AB,b＝AC，(1)︱c︱=3，且c∥BC,求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系.思维启迪：本题考查空间向量坐标运算法则的应用，根据a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，|a|＝222111yxz等来求解该题，这是需要熟练掌握的知识点，因为这是利用向量解决立体几何的基础.解（1）∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c=mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m),所以|c|＝()()mmm－＋－＋＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，,又|a|＝0＋＋＝2，|b|＝ )0＋＋＝5，∴cos〈a，b〉＝·||abab＝110＝－1010,即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.(3)方法一∵ka＋b＝(k－1，k，2),ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.方法二由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2,＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.(4)∵a＋b＝(0，1，2)，a－b＝(2，1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，∵λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0，0，1)＝2λ－2μ＝0，即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直.探究提高证明两条直线垂直，一般是用两条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的.变式训练3设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，1，8)，计算2a＋3b，3a－2b，a·b以及a与b所