空间向量在立体几何中的应用

1.二面角的定义2.二面角的平面角αβι从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角二面角定义法——直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角，其范围是，0一，回顾二面角中下列二面角怎么求？问：正方体1111DCBAABCD）——（DACD1图1）——（CDEO图2CD1OEB11A1ABCDAA1D1C1BDCB1二，引入专题1111111,,DODACODACODACDACDDCBAABCD的平面角是所求二面角得是等腰三角形，和所以是正方体，因622222,21221212211DDODODODBDBDODDDDOD，即中，直角三角形363662sin111值为答：所求二面角的正弦ODDDDOD1,2ODODOACAB，连接的中点，取解：设二面角例1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求二面角的正弦值？DACD1C1CA1ABDB1D1O三，讲解例题二面角二面角2．对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ.四，求二面角的向量法1．利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示〈m，n〉即为所求二面角的平面角．3.主要公式：1n2n)(21的法向量为平面的法向量为平面其中，nn212121,cosnnnnnn0,21，nn二面角yxz2AB,DDDCDAD1设系轴建立空间的直角坐标为轴，为轴，为为坐标原点，解：以zyx)1,0,1(),2,0,0()0,1,2()0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),,0,0,0(1ODECBAD，例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，O是平面的中心，求二面角O—DE—C的正弦值？DDAA11)0,1,2(),1,0,1(),2,0,0(1DEDODD），，（的一个法向量为由图形知，平面200DD1DEC),,(ODEzyxn的法向量为设平面CD1OEB11A1ABCD333221010)1(,cos111DDnDDnDDn；值为答：所求二面角的正弦的余弦值为二面角的平面角为钝角，所以因观察图形知，二面角3636931cos1sin33-2)1,1,1(,1,1,1,02000nxyzzyyxzxDEnDOn所以令解得1.若几何体中含有两两垂直的三条直线，一般要考虑建立空间直角坐标系，借用空间向量求空间角．恰当建系，准确写出相关点或向量的坐标是解题的关键．2．求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．二面角五，归纳拓展的大小求二面角的中点是中，如图，在正四棱柱BACEDDEABAADCBAABCD,,1,2.1111111ExzxyzDD建立空间直角坐标系为坐标原点，解：很明显，以)0,0,1(),0,1,0(),22,0,0(),20,0(),0,0,0(1ACEDD)0,1,1(),22,0,1(),2,0,0(1ACAEDD），（的一个法向量为平面2,0,01DDACB),,(zyxnEAC的法向量为设平面)2,1,1(002200nyxzxACnAEn解得二面角B1C1D1A1ABCD六，课堂练习：22222,cos111DDnDDnDDn所以，513的大小为所以二面角锐二面角，因观察图像知二面角为BACE二面角的余弦值。求二面角的中点为，，且的正方形，是边长为中，底面如图，四棱锥DACEPDEPACDPABCPAABCDABCDP,2,2.2DyBACPEFxz系。轴建立空间的直角坐标作为轴，作为，轴作为坐标原点，为解：由已知，以zAPxyADABA)1,1,0(),0,2,2(),0,2,0(),2,0,0(),0,0,0(ECDPA)0,2,2(),1,1,0(),2,0,0(ACAEAPAPACD的一个法向量为平面)1,1,1(,1,1,1,002200),,(nyxzzxzyyxAEnACnzyxnEAC那令解得的一个法向量为设平面二面角333212)1(010APnAPnAPnCOS;33的余弦值为所以二面角锐二面角因观察图像知二面角为DACE二面角七，课堂小结：二面角利用空间向量处理立体几何的问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量运算，有利于克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，既直观又容易接受，降低了立体几何学习的难度，有利于丰富我们的思维结构，提高运用数学知识分析和解决问题的能力。.222的大小求二面角的中点为，所在的平面，矩形所在平面垂直于的等边如图，边长为DAMPBCMBCABCDPCDzABCDPMyxO二面角附加题：ADSDADABABSDADSDABCDABCDS3,2,,且矩形，为中，底面如图，四棱锥的大小求二面角DSBASABCDxyz八，布置作业：二面角精品课件！精品课件！