空间向量求角

3.2.3立体几何中的向量方法——空间“角”问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）范围：0,2ABCD1D||一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：coscos,CDAB||解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0,0)，C(0,2,0)，A1(3，1，3)，D1(0,1，3)，所以CA1＝(－3，1，－3)，AD1＝(3，－1，－3)，则cosADCA11＝ADCAADCA1111＝-17.即异面直线A1C与AD1所成的角的余弦值为17.•[题后感悟]如何用坐标法求异面直线所成的角？•(1)建立适当的空间直角坐标系；•(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；•(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；•(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．直线与平面所成角的范围：[0,]2结论：sin|cos,|nAB二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AOBn2.线面角uaula设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为(),则aul02≤≤sinauauua,22,ua•2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．•(1)证明：PE⊥BC；•(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．解析：以H为原点，HA、HB、HP所在直线分别为x、y、z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，则D(0，m,0)，E12，m2，0.可得PE→＝12，m2，－n，BC→＝(m，－1,0)．因为PE→·BC→＝m2－m2＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知条件可得m＝－33，n＝1，故C－33，0，0，D0，－33，0，E12，－36，0，P(0,0,1)，设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则n·HE→＝n·HP→＝0，即12x－36y＝z＝0.因此可以取n＝(1，3，0)，由PA→＝(1,0，－1)，可得|cos〈PA→·n〉|＝24，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24.[题后感悟]求直线与平面所成的角的方法与步骤(1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量AB→；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|AB→|.(2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB:[0,]范围三、面面角：四、教学过程的设计与实施2探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,问题1：二面角的平面角能否转化成向量的夹角？AOB三、面面角：四、教学过程的设计与实施2探究方法12,nn二面角将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.,,,ABlABCDlCDcoscos,ABCDABCDABCDDCBA②方向向量法：设二面角α-l-β的大小为θ，其中l要点梳理四、教学过程的设计与实施2探究方法问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？anl1n2n2探究方法四、教学过程的设计与实施21,nn121212coscos,nnnnnn2探究方法四、教学过程的设计与实施21,nn121212coscos,nnnnnn2探究方法四、教学过程的设计与实施问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？再次演示课件ll法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn关键：观察二面角的范围21,coscosnn结论：注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角3实践操作四、教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果．小结注意：(1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一进一出，二面角等于法向量的夹角”）(2)用方向向量法求二面角时，应先在二面角的二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两直线，再利用直线方向向量计算；(3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．课堂训练与检测：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；020zxyx令x=1，则y=1，z=2；从而)2,1,1(n36612,cossinnOSnOSnOS（2）设面SAB的法向量),,(zyxnSAnABn,显然有OABCSxyzOBSAOBSAOBSA⑶,cos.510252⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）1n又∵OC⊥面AOS，OC∴是面AOS的法向量，令)0,1,0(2OCn则有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角的大小等于21,nnOABCSxyz∴二面角B－AS－O的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510课堂小结：1.异面直线所成角：coscos,CDAB||CDAB1D2.直线与平面所成角：sincos,nAB||nOBA3.二面角：cos12|cos,|nncos12|cos,|nn关键：观察二面角的范围2n1n