33 积分方法

3.3积分方法3.3.1换元法3.3.2分部积分法3.3.1换元积分法一、案例二、概念和公式的引出一、案例[石油消耗量]近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07．1970年初，消耗量大约为161亿桶．设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率，已知试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总量．tetR07.0161（亿桶）解设T(t)表示从1970年（t=0)起到第t年石油消耗的总量.T’(t)就是石油消耗率R(t)，即T’(t)=R(t)，于是由变化率求总改变量，得200(20)(0)()dTTTtt200()dRtt200.070161dtet在基本积分公式中，只有积分公式dtteteC如果将200.070161dtet的积分凑成d0.07t，则有20200.070.07001161d161d0.070.07ttetet＝dtteteC这时，用公式，得,积分变为令0.07tu200.070161dtet200.070161d0.070.07tet1.40161d0.07ueu1.40161()0.07ue1.42300(1)7027e(桶)201.40.0700161161dd0.07tueteu＝0.07t=ut:0→20u:0→1.4二、概念和公式的引出对上式积分结果求导，有不定积分的换元法设()d()fuuFuC，xu可导，则CxFxxxfdxxfxxFxuFCxF成立。换元法求不定积分的一般步骤如下：恒等变形()dd[()]d()gxxfxxxfxxCxFCuFuufxuxu回代积分换元)()(d利用换元法时，要把被积表达式分解出dxx，并凑成微分d()x，因此这种方法也称为凑微分法．定积分的换元法设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若dtttfdxxfbatx(1)函数在区间,上单调且有连续导数；(2)当t在区间,上变化时，对应的函数tx则有定积分的换元公式在区间[a,b]上变化，且aab，，注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要进行相应地变换．t=0时，v=0.3m/s．求质子的运动速度．三、进一步的练习2)21(20ta(单位：m／s2)．如果加速度为解由加速度和速度的关系)()(tatv，有练习1[质子的速度]一电场中质子运动的2()()d20(12)dvtatttt2120(12)d(12)2tt凑微分令u=1+2t，得21()10d10vtuuuC21uduuC当t=0，即u=1时，v=0.3代入上式得C=-9.7再将u=1+2t，代入上式，得1()10(12)9.7vtt练习2[太阳能能量]解某一太阳能的能量f相对于太阳能接触的表面面积0.0050.011dfdxxx的变化率为，如果x=0时f=0，求出f的函数表达式．0.0050.0051dd(0.011)0.010.0110.011fxxxx凑微分10.5d(0.011)0.011xx令u=0.01x+1，得当x=0，即u=1时，f=0代入上式得C=-1，所以f10.5duu0.52uCuC11222uduuC0.0111fx凑微分法运用熟练以后，可省略换元步骤，直接写出结果．注：案例3[商品销售量]某种商品一年中的销售速度为解由变化率求总改变量知商品在前3个月的销售总量P为()100100sin(2)2vtt(t的单位：月；012t）求此商品前3个月的销售总量．30[100100sin(2)]d2Ptt33001100d100sin(2)d(2)222ttt3300100100sin(2)d(2)222ttt30100300[cos(2)]30022t练习4[电路中的电量]解由电流与电量的关系设导线在时刻t(单位：s)的电流为求在时间间隔[1,4]s内流过导线横截面的电量20.0061itttddQit4210.0061dQttt32421[0.002(1)]tQ(t)(单位：A)．得在[1,4]秒内流过导线横截面的电量Q为42210.0031d(1)tt0.1345(A)3.3.2分部积分法一、案例二、概念和公式的引出一、案例[新井的石油产量]工程师们预计一个新开发的天然气新井在开采后的第t年的产量为：()0.0849tPtte×106m3，试估计该新井前4年的总产量．解在[,]ttt时间段内，天然气的产量（产量微元）为d()dPPtt该新井前4年的总产量为40()dPPtt400.0849dttet400.0849dttet对数函数×指数函数二、概念和公式的引出不定积分的分部积分法uvuvvuddvuvuuv定积分的分部积分法uvuvvubababad)(d练习1案例的计算三、进一步的练习解40()dPPtt400.0849dttet400.0849()dtteuv分部积分法44000.0849[()d()]ttteet44000.0849[()()]tttee60.077110(m3)在应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键．选取u和v一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；(2)uvd比vud容易积出．注：一般地，如果被积函数是幂函数与正（余）弦函数或指数函数的乘积，可以用分部积分法，选幂函数为u．被积函数是幂函数与对数函数（或反三角函数）的乘积，选对数函数（或反三角函数）为u.练习2[电能]在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度r可以近似地表示为trte（t单位：h）求在前两个小时内消耗的总电能E.解由变化率求总改变量知222000dd()dttErttette2200()d()ttteet22020()tee0.594(J)练习3[石油总产量]经济学家研究一口新井的原油生产速度R(t)解设开始3年内生产的石油总量为W，由变化率求总)2sin(02.01)(tttR(t的单位：年)为求开始3年内生产的石油总量．改变量得3330000.01cos(2)cos(2)dttttt300.01sin(2)3302t0.013303.009530(10.02sin(2))dWttt30dt300.01d(cos(2))tt