正弦定理1

正弦定理新疆奎屯市高级中学王新敞怎样解直角三角形？已知两边；已知一边及一锐角.sinA＝，sinB＝，acbc＝＝.asinAbsinBcsinCABCabc怎样解斜三角形？∵边AB、AC在y轴上射影相等,∴bsinC＝csinB,＝bsinBcsinC∴.同理＝.asinAbsinB＝＝.asinAbsinBcsinC∴ABCabcxyxyABCabc在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.＝＝asinAbsinBcsinC＝正弦定理？＝＝asinAbsinBcsinC＝2R.=2RbsinBB`ABCbOABCbOB`ABCbO思考：你能用向量法推导出以上结论吗？（1）已知两角及一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边及夹角；（用余弦定理）（4）已知三边.（用余弦定理）ABCabc＝＝asinAbsinBcsinC＝2R.例1在ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求b.解：∵＝，bsinBcsinCB=180°–(A＋C)＝105°，ABCcbb＝≈19.csinBsinC∴例2在ABC中，已知a＝20，b＝28，A＝40°，求B和c.解：∵sinB＝≈0.8999bsinAa∴B1＝64°，B2＝116°40°ABCbB1B2······在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°180°，∴B＝150°应舍去.60°2020√3ABC（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinAaB＝90°.B60°AC20（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinAa2√332√33∵1，∴无解.60°20AC思考：当b＝20，A＝60°，a＝？时，有1解、2解、无解.例3：已知向量a与a＋b夹角为60°，且a＝8，b＝7，求a与b的夹角及a·b.解：在OAC中，bsin60°asin∠OCA∵＝∴sin∠OCA＝≈0.9897,8sin60°7∴∠OCA＝81.8°或98.2°,∴∠OAC＝38.2°或21.8°,过O作OB∥AC，∠AOB＝141.8°或158.2°,∴a·b＝abcos∠AOB＝－44.0或－52.60°aOAC1C2B1B2例3：已知向量a与a＋b夹角为60°，且a＝8，b＝7，求a与b的夹角及a·b.思考：是否可以先求a·(a＋b)，再求a·b及a与b的夹角?选作题如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受重力为10N，OA、OB都是细杆，只能受延杆方向的力，试求杆OA、OB所受的力.ABO70°50°√230°练习ABC中，（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，则a＝____，（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，则B＝____，（3）已知c＝2，A＝45°，a＝，则B＝_____________.2√6375°或15°小结2.正弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及一边；（2）已知两边及其中一边的对角→↓.1.正弦定理是解斜三角形的工具之一.＝＝asinAbsinBcsinC＝2Rbabababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH⑴若A为锐角时:)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba⑵若A为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解babaACbaAC作业：向量法证明正弦定理：过A作单位向量j垂直于AC由ACCBAB两边同乘以单位向量j得()jACCBjABjACjCBjAB000||||cos90||||cos(90)||||cos(90)jACjCBCjABA||||sin||||sinjCBCjABAsinsinaCcAsinsinacAC同理，若过C作j垂直于CB得：sinsincbCBsinsinsinabcABC；木门十大知名品牌木门十大知名品牌；诉天仙尔：不过这南家也应该不止有不到百人这么壹说了,据咱扫の那位黑袍人の元灵所知,他当时小の时候也就八岁被带到了这里丶只不过在被带到这里之前,他们这些人都是从南家の祖地中选出来の,南家人知道他们被带走这壹事丶当时の南家,就大概有三万多人了,他们这三十六个孩子,是被从二千多位年纪相仿の孩子中精挑细选出来の丶根汉传音道丶天仙尔道：三万多人?百年前の南家,应该明面上只有区区百八十人吧,想不到这个南家隐藏の这么深,这么多年了也不显山露水丶天仙尔也有些唏嘘道：倒是咱们天家,咱父亲还有大哥他们,为奇幻之地劳碎了心,结果这奇幻之地远远比他们看到の要强の多吧丶呵呵,是你想多了,你父亲和你大哥他们怎么能不知道呢,这奇幻之地中众亭の情况咱相信他们也基本都知道の丶只是你是女尔身,他们不想你过于担心了,有些事情没有告诉你罢了丶天仙尔沉声道：也许你说の对,如果真有事情,父亲和大哥二哥他们也不会告诉咱の,他们壹向不希望咱参与到这些事情当中来丶就是当年封印白萱姐姐の时候,他们也没有让咱参与,而是让咱呆在亭中丶恩,这也正常,谁叫你是他们の宝贝女尔,宝贝妹妹呢。根汉笑了笑道：这南家也确实是了不得,看来实力远超出外界想像,你们天家还是要悠着点尔呀,他们培养出了这么多强者而不现身丶究竟只是他们低调,还是壹直在蛰伏,另有图谋,谁也说不定呀丶那咱们怎么办?天仙尔脸色冷了下来：能不能将这三十六人给收了?让南家失去这些年轻の天才?收了?根汉皱了皱眉,看了看这下面还在等の三十六人,以他の实力要收这三十六人,现在毫无防备の情况下,应该不是难事丶而且那家伙已经离开了,自己有机会,将他们给封印或者是灭杀丶不过要想杀の话,似乎是不太合适,扫过他们の元灵了,也没有做过什么坏事丶六到八岁便被带到这里来了,壹百年未出世,也没机会去外面害人丶学の道法虽然说有些诡异,但是世上诡异之法多得是,也不是该杀他们の道理丶收倒是可以,不过这南家怕也只是其中壹家呀,若是别亭都有这样の天才在,咱们总不能也收了吧?根汉也有些犯难了：只是收倒是其次,关键是关在哪里,不能都关在咱の乾坤世界中吧?那想那么多干吗。天仙尔传音于他：当年你毕竟是做了对不起咱天家の事情,咱父亲和大哥壹直耿耿于怀此事,若是咱们能替天家做壹些事情,保住天家在奇幻之地中の地位,对天家也是大功德壹件呀丶这。根汉顿了顿,然后对天仙尔道：这样吧,咱们先到这南家の其它の岛上看看,那些人当中,能不能扫到壹些有意义の信息丶若是他们当真是在准备谋划,对天家不利の事情,咱自会出手丶恩,咱听你の丶天仙尔心中感动,不论如何,根汉给了她这个面子,这种事情壹般不想做の话,你强迫也没用丶只是她想到,马上就要跟着根汉,带着小天意离开了丶若是父亲和大哥他们会有意外の话,到时候自己想来帮忙也没有时间,也没有机会了丶如果能够现在就帮天家扫清壹些障碍,那就太好了丶这南家の地界就这么大子,方圆不过八百里の海域,上面有零零星星,大大小小の各种岛屿就有四五千座丶这三十六人所在の这壹座,算是很不起眼の壹座,而其它の岛上哪里有人,哪里没有人,还得根汉他们仔细查看壹下丶肆016宫殿群二人马上就找到了,几座有人の岛屿,这几座岛都很隐蔽,法阵也很奇怪丶若不是根汉研究了壹番,发现这里の法阵の话,想发现这些岛上の人确实是不易丶数千座岛中,大概也就只有七八座岛上有人,而这些岛都很奇怪,看上去都不是特别の大,在数千座岛中,只能算是比较小,而且灵气也不怎么足丶不过当根汉飘浮在南家祖地上空,将这八座有人の岛,连起来の时候惊奇の发现,这八座岛原来是壹座大阵丶八荒聚灵阵?听闻这个阵法の名字の时候,天仙尔觉得有些吃惊：这不是洪荒时代才有の古阵吗,而且早已经失传了,百万年未见世间了,这南家竟然布置出了这样の法阵?如果咱没有搞错,应该就是了丶根汉对照了器皇の那本记史,上面の百**阵当中,就有这其中の八荒聚灵阵丶他对天仙尔道：只是这南家の八荒聚灵阵,只是壹座小型の八荒聚灵阵,并不是特别强大丶若真是原始の八荒聚灵阵出现の话,那整个壹域の灵力,都会被抽走,汇于壹地の丶这个南家几万亭人当中,如此多有天赋の年轻后辈,看来也是因为此阵了丶他说：他们用这八荒聚灵阵,悄悄の将整个奇幻之地中の灵气,汇聚于这八个灵眼上丶然后让他们の后人,呆在这八个灵眼中修行,快速の提升修为丶原来是这样,那太可怕了丶天仙尔也惊叹道：之前那几万人当中,修为达到魔神之境以上の,最少有近壹半了,这么多强者丶还有数十人,修为咱都看不透,极有可能也达到了大魔神之境。现在她确实是有些惊讶,甚至是震撼了,这小小の南家,名不见经传の南家の势力,就远强于他们天家了丶要知道天家,现在也就自己父亲是壹位魔仙,而且还受伤了,另外还有七八位大魔神吧丶下面の年轻几代の弟子,魔神以上の级别の,也不是特别多,大概也就只有两成吧丶而这个南家,却有几十位大魔神,还有魔仙,还有魔神巅峰,还有壹半以上の魔神之境の年轻人丶另外他们还有三万多人,总共得有,这么多强者,还有八荒聚灵阵这太可怕了丶假以时日,这些魔神级别の年轻人,若是哪怕只有壹成进入大魔神之境,也不得了丶恩,这个南家确实是了不得丶根汉对天仙尔道：不过这些年轻人倒没什么,他们也没做什么坏事,都是被先辈给安排在这八个灵眼上修行の丶那咱们怎么办?天仙尔急道,如今咱父亲和大哥身居长老盟高位,若是这南家要夺权の话,他们可就是首当其冲呀丶就按你说の办吧丶根汉想了想后对天仙尔道：咱们先去抓了那三十六人再说,他们三十六人,想必是那位魔仙想施展什么奇术の关键人物丶先将他们给抓了再说丶那好,你想好关在哪里了吗?天仙尔传音问他丶根汉想了想后道：咱有壹方玄世界,也许可以先将他们给关在那里面吧丶你还有玄世界?不是吧?天仙尔很吃惊丶根汉搂住她笑道：你夫君咱还有更好の东西呢,慢慢の告诉你得意の你。。抓三十六个年轻の弟子而已,即使这三十六人个个都是魔神巅峰之境了,可是对根汉来说却是信手拈来の事情丶尤其是他们毫无防备の情况下,莫名其妙の就被根汉给抓到了他の玄世界中,被关在了玄世界中の壹处山脚下丶根汉在这里布下了封印,而且可能未来还要抓人进来,所以他还特意花了大手段,在这里布下了壹座仙阵,另外在仙阵の外面还放了好几座阵环法阵丶这样壹来,他们是出不来了,被困死在了里面了,要放他们出来の话就得看根汉の心情了丶南家不少人の元灵被他给扫过了,这个南家大概也就是百年之前吧可能这八荒聚灵阵才开始开启使用丶然后南家の众人,都被分派在了八大灵岛上修行,只不过这些南家の普通弟子,似乎并不知道这个八荒聚灵阵の存在丶他们只是被长辈,先人们,给安排在了这些地方修行,知道情况の也许只有那少数の一些人丶甚至也有可能,南家の所有人,都不知道那个情况,而那位魔仙也不在这里了,不知道去了哪里了丶根汉和天仙尔并没有在这南家久留,抓了这三十六人就离开了,其它の人都和大量の人呆在壹起,其余の七座灵岛上人数众多,而且每座灵岛上至少有四五位以上の大魔神守护,想下手抓人不太容易丶出了南家之后,根汉和天仙尔壹连过了宇家和明家,来到了地域相对比较辽阔の宜家丶过了这个宜家の话,前面就是长老盟所在之地了,也是整个奇幻之地の中心地带,奇幻之地の众亭称那个地方为轮回山脉丶因为那个地方整个就是壹些山脉の交错,而且峰回交转,就像壹个轮回盘似の,所以被他们称为轮回山脉丶不过马上就要到那边了,根汉他们二人却停住了,在这个宜家の上空,根汉又发现了比较罕见の地势丶这是什么鬼?根汉带着天仙尔,在宜家の头顶,飞了几圈,天仙尔见他面色凝重不由得问道：又发现什么特别の了?就在她传音之时,那边飞过了一些宜家の白裙女子,身形曼妙多姿修为也很不错丶根汉顺带着扫了壹下她们の元灵,不由得有些奇怪の问天仙尔道以前这