正弦定理与余弦定理各地高考练习题

1试题本一地区：四川文科卷年份：2012分值：5.0难度：31.如图，正方形的边长为，延长至，使，连接.则（）A.B.C.D.地区：江西文科卷年份：2013分值：12.0难度：22.在中，角所对的边分别为，已知．（1）求证：bca2;（2）若，求的值．地区：安徽文科卷年份：2013分值：5.0难度：33.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）2A.B.C.D.地区：湖北理科卷年份：2013分值：12.0难度：24.在中，角对应的边分别是．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，，求的值．地区：浙江理科卷年份：2013分值：4.0难度：35.中，，M是BC的中点，若，则_____________．地区：浙江文科卷年份：2013分值：14.0难度：26.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．地区：山东文科卷年份：2013分值：5.0难3度：28.的内角的对边分别是，若，，，则（）A.B.2C.D.1地区：新课标Ⅰ文科卷年份：2013分值：5.0难度：29.已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）ABCD地区：辽宁文科卷年份：2013分值：5.0难度：310.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝（）A.B.C.D.地区：山东理科卷年份：2013分值：12.0难度：311.设的内角所对的边为且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．4地区：新课标Ⅰ理科卷年份：2013分值：12.0难度：212.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（Ⅰ）若PB＝，求PA；（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．地区：天津理科卷年份：2013分值：5.0难度：313.在△ABC中，则＝（）A.B.C.D.地区：天津文科卷年份：2013分值：13.0难度：214.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，5b，c．已知，a＝3，．(Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)求的值．地区：福建文科卷年份：2013分值：12.0难度：415.如图，在等腰直角三角形中，，，点在线段上．（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．地区：福建理科卷年份：2013分值：4.0难度：2616.如图中，已知点D在BC边上，ADAC，则的长为_______________．地区：四川理科卷年份：2013分值：12.0难度：317.在中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．地区：四川文科卷年份：2013分值：12.0难度：318.在中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求7向量在方向上的投影．地区：重庆文科卷年份：2013分值：13.0难度：319.在中，内角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值．地区：全国理科卷年份：2013分值：12.0难度：320.设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．地区：辽宁理科卷年份：2013分值：5.0难8度：321.在△中，内角的对边分别为若，且，则（）A.B.C.D.地区：安徽理科卷年份：2013分值：5.0难度：322.设的内角所对边的长分别为．若，则则角_________．地区：新课标2理科卷年份：2013分值：12.0难度：323.在内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求面积的最大值．地区：江苏卷年份：2013分值：16.0难度：324.如图，游客从某旅游景区的景点处下山至9处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，，.(1)求索道的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？地区：湖北文科卷年份：2013分值：12.0难度：225.在△中，角，，对应的边分别是10，，．已知．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△的面积，，求的值．地区：上海文科卷年份：2013分值：4.0难度：226.已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是__________．地区：江西理科卷年份：2013分值：12.0难度：327.在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．11全部试题答案：121.答案：B思路分析：考点解剖：本题考察了余弦定理的应用以及同角三角函数的基本关系.解题思路：首先求DE.CE，在三角形CDE中运用余弦定理与sin2α+cos2α=1求解，解答过程：答案为B.规律总结：在解三角形中，注意正余弦定理的使用得条件，以及恒等式sin2α+cos2α=1的应用.2.（1）见解答过程;（2）思路分析：考点解剖：本题主要考查等差数列的定义、性13质，三角恒等变换，余弦定理的应用，以及推理论证的能力．解题思路：（1）通过三角恒等变换化简已知式子，得到，进而通过正弦定理得到，即得证;（2）由，结合余弦定理，求的值．解答过程：解：（1）由已知得，因为，所以．由正弦定理，有，即成等差数列．（2）由及余弦定理得，即有，所以．规律总结：注意用正弦定理将角的关系转化为边之间的关系．3.答案：B思路分析：14考点解剖：考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.解题思路：本题已经给出了边角关系，可以利用正弦定理将3sinA=5sinB转化为边的关系代换余弦定理来解答。解答过程：解：由正弦定理，所以；因为，所以，，所以，答案选择B规律总结：利用正弦定理可以将边角关系进行适当的转化，直接转化为是解题的关键．4.（Ⅰ）；（Ⅱ）思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用．解题思路：（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式15进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得，再利用余弦定理求得，最后利用正弦定理求解．解答过程：解：（Ⅰ）由，得，即，解得或（舍去）．因为，所以．（Ⅱ）由得：．又，知．由余弦定理得,故．又由正弦定理得．规律总结：解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．165.答案：思路分析：考点解剖：本题主要考查正弦定理、三角函数等基础知识．解题思路：利用正弦定理结合同角三角函数基本关系求解．解答过程：解：设，在△中，由正弦定理得，在△中，，，即，化简得，．规律总结：涉及到正弦值的求解，一般有两种思路：（1）正弦定理；（2）同角三角关系式．6.（Ⅰ）；（Ⅱ）思路分析：17考点解剖：本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积．解题思路：（Ⅰ）利用正弦定理求解；（Ⅱ）利用余弦定理，结合角形的面积公式求解．解答过程：解：（Ⅰ）由和正弦定理得：，∴．∵A为锐角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，∴．∴，∴，解得．∴．规律总结：解三角形常常考查正弦定理，余弦定理的应用等，常常考查角或者边的大小，以及结合三角形的面积、周长考查等．涉及到三角形的面积，常常用面积公式：求解.7.答案：A18思路分析：考点解剖：本题考查利用正弦定理研究三角形中的边角关系．解题思路：本题是求角，我们可以把边化成角，根据三角函数的值反求角度．解答过程：解：由得，又，所以．故选A．规律总结：研究三角形中的边角关系，常用到正弦定理和余弦定理，思路是边角互化．8.答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查解三角形的应用．解题思路：由正弦定理结合二倍角公式求得角，进而求得角;最后运用勾股定理求解．解答过程：19解：由正弦定理，即，解得cosA＝，∴A＝，B＝，C＝，∴c＝．规律总结：涉及到解三角形问题，一般联想到两个定理：正弦定理与余弦定理．9.答案：D思路分析：考点解剖：本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查基本的运算能力以及转化与化归能力．解题思路：先利用二倍角公式求出A的余弦，再利用余弦定理求边长．解答过程：解：由余弦定理知，又A为锐角，所以，又，所以，所以选D．规律总结：知两边及一边的对角求第三边时，可以利用正20弦定理，也可以利用余弦定理，相比较直接利用余弦定理反而快捷．10.答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查解三角形的应用．解题思路：运用正弦定理求解，运用正余弦定理结合三角形恒等公式对条件进行适当的变换．解答过程：解：由asinBcosC＋csinBcosA＝b，结合正弦定理有sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，显然sinB≠0，则有sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin（A＋C）＝，则有A＋C＝或（此时B为钝角，与条件a＞b矛盾，舍去），故B＝．规律总结：利用公式得到sin（A＋C）的值时，注意分类讨论并结合题目条件加以分析，容易出现遗漏而导致错误．2111.（Ⅰ）（Ⅱ）思路分析：考点解剖：本题考查了同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、解三角形等知识．解题思路：对于（Ⅰ）可利用余弦定理结合给定的边长，求出的值；（Ⅱ）可先利用正弦定理求出，进而求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值．解答过程：解：（Ⅰ）由cosB＝与余弦定理得，，又a＋c＝6，解得；（Ⅱ）又a＝3，b＝2，与正弦定理可得，，，所以sin（A－B）＝sinAcosB－cosAsinB＝．规律总结：三角函数类解答题是高考的重点题型．它的主要考查方式有三种：一是以考查三角函数的图象和性质为主；二是三角形中的三角恒等变换；三是考22查解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具．12.（Ⅰ）；（Ⅱ）思路分析：考点解剖：本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题．解题思路：（Ⅰ）解直角△PBC可得∠PBC，进而在△PBA中利用余弦定理求PA长;（Ⅱ）设出∠PBA，在△PBA中利用正弦定理列式求解．解答过程：解：（Ⅰ）由∠BPC＝90°，BC＝1，PB＝，∴∠PBC＝，∴∠PBA＝30o，在△PBA中，由余弦定理得＝＝，∴PA＝．（Ⅱ）设∠PBA＝，由已知得，PB＝，在△PBA中，由正弦定理得，化简得，∴＝，∴＝23．规律总结：与三角形有关的边长或角的求解，常利用正余弦定理解决．13.答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查转化划归的数学思想．解题思路：先由余弦定理求得;再结合正弦定理求得的值．解答过程：解：由余弦定理得；由正弦定理得．故选C．规律总结：利用正余弦定理时，关键是找好边角对应关系，确定是用正弦定理还是余弦定理．2414.(Ⅰ)；(Ⅱ)．思路分析：考点解剖：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，以及运算求解的能力．解题思路：（Ι）利用正弦定理角化边，求出边a，c，再利用余弦定理即可；(Ⅱ)由cosB可求得sinB，从而求出sin2B，cos2B，再代入两角差的正弦公式即可．解答过程：解：（Ι）在中，由，可得，又由，可得，又，故．由，可得．(Ⅱ)由，得，进而可得，，25所以．规律总结：对于三角函数与解三角形相结合的题目来讲，主要是考查运算求解能力，解三角中，边角经常要统一，即经常用正弦、余弦定理化边为角，或是化角为边的解题过程，具体选择要依题情而确定，但用正弦定理一般有个基本要求，就是式子的两边是关于边的齐次式，这时直接把边换成对应角的正弦即可，三角函数求值时，多注意角与角的关系，选择合适的公式进行求解，要特别注意角的范围．15.（1）或；（2）2时的面积的最小,最小值为思路分