2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：3.2等差数列(第1课时)

第三章数列3.1等差数列考点搜索●等差数列的概念●等差数列的判定方法●等差数列的性质●等差数列的综合问题高考猜想考查等差数列的通项公式、求和公式及其性质；同时考查等差数列的函数性.一、等差数列的判定与证明方法1.定义法：①_______________.2.等差中项法：②___________________.3.通项公式法：③__________.4.前n项和公式法：④__________.二、等差数列的通项公式1.原形结构式：an=⑤__________.2.变形结构式：an=am+⑥_______(n＞m).an-an-1=d(n≥2)an-1+an+1=2an(n≥2)an=kn+bSn=an2+bna1+(n-1)d(n-m)d三、等差数列的前n项和公式1.原形结构式：Sn=⑦_________=⑧___________.2.二次函数型结构式：Sn=⑨___________.四、等差数列的常用性质1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、q∈N*，则⑩_____________.2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则an与S2n-1的关系式为11___________；Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成12___________.an2+bn1()2naan1(-1)2nnnadam+an=ap+aq等差数列2-12-1nnSan五、a，b的等差中项为13_______.盘点指南：①an-an-1=d(n≥2);②an-1+an+1=2an(n≥2);③an=kn+b;④Sn=an2+bn;⑤a1+(n-1)d;⑥(n-m)d;⑦;⑧;⑨an2+bn;⑩am+an=ap+aq;11an=;12等差数列；132ab2ab1()2naan1(-1)2nnnad2-12-1nSn1.等差数列{an}中，已知a1=,a2+a5=4,an=33，则n=()A.48B.49C.50D.51解：由已知解得公差d=，再由通项公式得解得n=50.故选C.C132312(-1)3333n，2.已知{an}是等差数列,a1+a2=4，a7+a8=28,则该数列的前10项和S10等于()A.64B.100C.110D.120解：设数列{an}的公差为d,则解得故故选B.B112421328adad，11.2ad101109101002Sad，3.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列四个命题：①若an=an+1(n∈N*)，则{an}既是等差数列又是等比数列；②若Sn=an2+bn(a,b∈R),则{an}是等差数列；③a,b,c成等差数列的充要条件是b=a+c2；④若{an}是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)也成等差数列.其中正确的命题是______(填上正确命题的序号).解：①中若数列各项为零时不满足；②③④都是等差数列的性质.1.等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50.(1)求通项公式an;(2)若Sn=242，求n.解：(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50，题型1a1，d，an，n，Sn中“知三求二”第一课时得方程组解得所以an=2n+10.(2)由Sn=242，得方程解得n=11，或n=-22(舍去).119301950adad，112.2ad1(-1)2nnnSnad，(-1)1222422nnn，点评：一个等差数列是由两个基本量a1，d确定的，如an，Sn都可以化为这两个基本量的式子，所以求解an或Sn的问题，一般是通过条件得出a1，d的方程(组)，然后通过解方程(组)求得a1和d，这体现了方程思想在数列中的应用.设等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn.(1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式；(2)若a1≥6，a110，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式.解：(1)由S14=98,得2a1+13d=14.又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.因此,数列{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3,….拓展练习拓展练习①(2)由得即②③由①+②得-7d11,即d.由①+③得13d≤-1,即d≤.于是d≤.又d∈Z，故d=-1.代入①②得10a1≤12.又a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,….14111770,6Saa11121311100,6adada11121311-2-200.-2-12adadaab11-711-311-711-32.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.(1)求证：{an}为等差数列；(2)求Sn的最小值及相应n的值；(3)记数列{|an|}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.解：(1)证明：当n=1时，a1=S1=-8.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.又n=1时，a1=-8也满足此式.所以an=2n-10(n∈N*).题型2等差数列前n项和的应用又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2，所以{an}为等差数列.(2)因为所以，当n=4或5时，Sn取最小值-20.(3)因为当n≤5时,an≤0;当n≥6时,an＞0，故当n≤5时，Tn=-Sn=9n-n2；当n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an=Sn-2S5=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40.所以2981(-)-24nSn，229-(5).-940(6)nnnnTnnn点评：公差不为零的等差数列的前n项的和是关于n的二次函数(常数项为0)，反之也成立.因为和式是二次函数，所以和式有最大值(或最小值)，求其最值可按二次函数处理，不过需注意自变量n是正整数.设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且S32=9S2，S4=4S2，求数列{an}的通项公式.解：设等差数列{an}的公差为d.由Sn=及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d)，①4a1+6d=4(2a1+d).②由②得d=2a1,代入①有a12=,解得a1=0或a1=.拓展练习拓展练习1(-1)2nnnad149a49当a1=0时，d=0(舍去).因此，故数列{an}的通项公式为148.99ad，484(-1)(2-1)(*).999nannnN设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=S13，且a1＞0，求当n为何值时，Sn最大.解法1：由S5=S13，得所以所以因为a1＞0，所以当n=9时，Sn取最大值.参考题参考题11115[(4)]13[(12)],22aadaad12-,17da211(-1)-(-9)81.217nnndnSnaa解法2：因为S5=S13,所以5a1+10d=13a1+78d，所以d所以由解得8.5≤n≤9.5.又n∈N*，所以n=9时，Sn最大.12-.17a111112(-1)(-)017,2(-)017nnaanaaana解法3：因为S5=S13，所以S13-S5=0，即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0.又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10，所以a9+a10=0.又a1＞0，所以a9＞0，a10＜0.故当n=9时，Sn最大.1.由五个量a1、d、n、an、Sn中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”.要求选用公式恰当，即能减少运算量，达到快速、准确的目的.2.在等差数列中，当a1＞0，d＜0时，解不等式组可得Sn达到最大值时的n的值；当a1＜0，d＞0时，解不等式组可得Sn达到最小值时的n的值.100nnaa100nnaa