高考方法技巧篇：配凑法(五)

方法技巧篇之配凑法题型透析真题展示1.（2012重庆）设tan，tan是方程2320xx的两个根，则tan()的值为2.（辽宁卷）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）A.23B.14C.5D.6命题规律所谓“配凑”指的是利用恒等变形的方法，把一个解析式中的某些项配凑我们所需要的形式.它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等等方面都经常用到它.配凑法分类1.利用结构特征进行配凑2.利用数量特征进行配凑3.利用已知定理、公式进行配凑4.引入参数进行配凑5.整体配凑破题技巧配凑法常用技巧1.把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件．2.把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论．3.把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式．题型突破题型一、利用结构特征进行配凑（一）【利用所学知识几何结构特征进行配凑】例1.（2011年广东理）设圆C与两圆22(5)4xy，22(5)4xy中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程.【破题技巧】：根据题意找出点满足的条件，联想所学的圆锥曲线的几何定义进行配凑.【通性通法】：仔细观察，恰当配凑.【例题解析】：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为1(5,0)F、2(5,0)F，由题意得12||2||2RCFCF或21||2||2RCFCF，1212||||||425||CFCFFF，可知圆心C的轨迹是以12,FF为焦点的双曲线，设方程为22221yxab，则22224,2,5,1,1aacbcab，所以轨迹L的方程为2214xy．（二）【利用已知代数特征进行配凑】例2.（2012·东北三校联考）设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝（）A.2525B.255C.2525或255D.55或525【破题技巧】：观察等式左右两端的结构特征，从左→右或者从右→左进行类似的配凑.本题是把等式左边变形，凑出等式右边的形式.【通性通法】：观察结构特征，配凑类似相通的特征.【例题解析】：依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)，因为4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－45×55＋35×255＝2525，选A.题型二、利用数量特征进行配凑例3.（2013山东高考真题）设正实数,,xyz满足22340xxyyz，则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为【破题技巧】：本题涉及到最值的求解，一般来说是用基本不等式来解决.观察特征，配凑出满足基本不等式的数量关系式本题的关键.【通性通法】：分离分式，得到满足解题所需的数量关系.【例题解析】：由22340xxyyz，得2234zxxyy.所以2214343xyxyzyxxxyyyx11423yxyx，当且仅当4yxyx，即2xy时取等号此时22zy，max()1xyz2122122zxyyxyy2121(1)(1)2yxyy2111224()12yy故最大值为1.题型三、利用已知公式进行配凑例4.已知两个等差数列{},{}nnab，它们的前n项和分别为,nnST，若2331nnSnTn，99ab值.【破题技巧】：我们已知等差数列前n项和公式，题目中也给了我们前n项和的比值关系，那么我们要找项的关系，就是要把项的关系根据已知的公式配凑成n项和的关系.【通性通法】：仔细审题，理清关系，找到配凑途径.【例题解析】：11711799117117911711791717,22()1722()1722217337317150aabbabaaaaabbbbbST题型四、引入参数进行配凑例5.已知,,xyzR，且1xyz，求149xyz的最小值.【破题技巧】：某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径.【通性通法】：引入参数，构架桥梁，得出结论.【例题解析】：设0，故有10xyz.1491491149xyzxyzxyzxxxxyz24612.当且仅当149,,,xyzxyz同时成立时取“=”，即123,,xyz，代入1xyz，解得36，此时1236，故149xyz的最小值为36.题型五、整体配凑例6.（安徽高考真题）若函数(),()fxgx分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()xfxgxe，则有（）A．(2)(3)(0)ffgB．(0)(3)(2)gffC．(2)(0)(3)fgfD．(0)(2)(3)gff【破题技巧】：由选项的结构特征，要比较大小，最好分别求出分(),()fxgx的解析式.可以考虑用整体配凑中的对称性配凑来解决问题.【通性通法】：根据题干特征，利用函数性质，提炼配凑结构.【例题解析】：由()()xfxgxe①①，且(),()fxgx分别是奇函数、偶函数，可把原等式中的x替换成-x，则()()xfxgxe由函数的奇偶性可知，()()xfxgxe②①②联立，可求出(),()22xxxxeeeegxfx则很容易求出(0),(2),(3)gff的值，易知选D备考指津【高考题型】配凑法多在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式以及最值、数列等知识点处考察．【技巧归纳】要善于观察、善于反思、善于联想,及时捕捉有关信息，通过配凑向公式过渡、向已知、熟知的内容转化．【复习建议】配凑法是从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化．同学们可以把配凑法与换元法和构造法结合在一起进行比较、复习．【备考预测】预计下一年的高考中，配凑法仍然是高考的一个热点，将广泛分布求函数解析式与最值、数列、化简、证明题目中．谢谢您的观看！