第4章 机器人学数学基础

SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC1第4章机器人学数学基础关胜晓SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC2本章内容4.14.14.14.1位置和姿态表示4.24.24.24.2坐标变换4.34.34.34.3齐次坐标变换4.44.44.44.4物体的变换及逆变换4.54.54.54.5通用旋转变换SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC3第4章数学基础机器人机构问题SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC4第4章数学基础机器人机构问题四连杆：（4.1.14.1.14.1.14.1.1）开式链：（4.1.24.1.24.1.24.1.2）1122OAABOOOB+=+11OAABBCOC++=SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC5第4章数学基础机器人正逆运动学问题正运动学：各关节变量，求末端操作器位姿。特点：唯一解。逆运动学：给出期望的末端操作器位姿，求各关节变量。特点：解不唯一。剔除多余解：1111）根据关节运动空间来选择合适的解；2222）选择一个最接近的解；3333）根据避障要求选择合理的解；4444）逐级剔除多余解。SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC64.14.14.14.1位置和姿态表示必须首先了解机器人自由度的问题空间点的位置，需要三个坐标描述。刚体也一样，每一个点需要三个坐标表示。但作为整体，还有个姿态问题。即需要另外三个参数而构成6666个数据。也就是6666个自由度才能将物体放置到空间中期望的位置和具有特定的姿态。少于6666个，则能力受限。多于6666个，意味着不是唯一解。这就需要通过最优计算来确定时间最短或者是路径最短到达目标位置。SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC74.14.14.14.1位置和姿态表示点的位置表示点的位置表示点的位置表示点的位置表示yyyyAAAAxxxxAAAAzzzzAAAAooooAAAA{{{{AAAA}}}}AAAApppppppp⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zyxApppppppSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC84.14.14.14.1位置和姿态表示点的方向表示点的方向表示点的方向表示点的方向表示[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==333231232221131211rrrrrrrrrzyxRBABABAAB1;1AATABBBRRR−==yyyyAAAAxxxxAAAAzzzzAAAAooooAAAA{{{{AAAA}}}}yyyyBBBBxxxxBBBBzzzzBBBBooooBBBB{{{{BBBB}}}}AAAAppppSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC94.14.14.14.1位置和姿态表示刚体位姿表示相对参考系{{{{AAAA}}}}，坐标系{{{{BBBB}}}}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(PositionVector)(PositionVector)(PositionVector)(PositionVector)和旋转矩阵(RotationMatrix)(RotationMatrix)(RotationMatrix)(RotationMatrix)描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系{{{{BBBB}}}}来描述，即ABoppppABR{{{{}}}}BoBoBoBoAAAAAAAABBBBppppRRRRBBBB====}}}}{{{{SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC104.14.14.14.1位置和姿态表示刚体位姿表示显然，刚体需6666个自由度才能将物体放置到空间中期望的位置和具有特定的姿态。⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎤⎤⎤⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎣⎣⎣⎡⎡⎡⎡====1111000000000000zzzzzzzzzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxobjobjobjobjppppaaaaoooonnnnppppaaaaoooonnnnppppaaaaoooonnnnFFFFSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC114.14.14.14.1位置和姿态表示可以将其转换为以下六个约束方程：（1111）（2222）（3333）（4444）（向量的长度必须为1111）（5555）（6666）因此，只有前述方程成立时，坐标系的值才能用矩阵表示。0000====⋅⋅⋅⋅oooonnnn0000====⋅⋅⋅⋅aaaannnn0000====⋅⋅⋅⋅ooooaaaa1111====nnnn1111====oooo1111====aaaannnn×oooo====aaaaSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC124.4.4.4.2222坐标变换平移坐标变换(TranslationTransform)(TranslationTransform)(TranslationTransform)(TranslationTransform)BoBoBoBoAAAABBBBAAAApppppppppppp+=yyyyAAAAxxxxAAAAzzzzAAAAooooAAAA{{{{AAAA}}}}yyyyBBBBxxxxBBBBzzzzBBBBooooBBBB{{{{BBBB}}}}AAAAppppBoBoBoBoBBBBppppAAAAppppSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC134.4.4.4.2222坐标变换旋转坐标变换(RotationTransform)(RotationTransform)(RotationTransform)(RotationTransform)ppppppppBABAR=yyyyAAAAxxxxAAAAzzzzAAAAooooyyyyBBBBxxxxBBBBzzzzBBBBBBBBppppSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTC144.4.4.4.2222坐标变换旋转坐标变换(RotationTransform)(RotationTransform)(RotationTransform)(RotationTransform)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=10000),(θθθθθcssczRzθ绕轴旋转yyyyAAAAxxxxAAAAooooAAAA{{{{AAAA}}}}yyyyBBBBxxxxBBBB{{{{BBBB}}}}θppppcoscoscoscosθsinsinsinsinθcosABppxxθ=⋅sinABppyxθ=⋅00ABppzx=⋅=SchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,USTCSchoolofInformationScienceandTechnology,U