第4章 机器人运动学.

第4章机器人运动学4.1运动学的研究问题、目的和手段4.2建立机器人坐标系统4.3建立坐标变换方程4.4建立并求解运动学方程习题2020年2月14日星期五4.1运动学的研究问题、目的和手段通过前两章的学习，我们已经了解了机器人的各种机械结构形式和驱动器，已经可以设计制作简单的机器人了（单关节的、或关节运动没有相互耦合的多关节机器人）。机器人运动机构是由一系列关节和连杆所组成的，彼此之间往往不是孤立的，而是存在着关联运动关系。因此，要设计制作功能强大的实用型机器人，则必须了解多关节机器人的关联运动关系，并能通过数学建模和求解，由已知的各关节运动量实现对机器人末端操作机的位姿分析、速度分析和加速度分析，或反向推求。2020年2月14日星期五1、机器人运动学的研究问题4.1运动学的研究问题、目的和手段通过对运动学模型的求解，具有三大用途：执行器运动控制：已知机器人各关节结构形式和杆件尺寸参数，通过关节动作协调，实现末端执行器以期望的方式运动；确定机构尺寸：已知其他参量，确定杆件尺寸；驱动器选型：得到为实现期望运动方式，各关节所需的驱动力或力矩，从而为各运动关节驱动器的最终选型提供依据。2020年2月14日星期五2、机器人运动学的研究目的4.1运动学的研究问题、目的和手段建立机器人坐标系统，以描述机器人关节运动建立坐标变换方程，以描述关节运动的关联关系通过坐标变换方程、微分方程等建立并求解运动学方程2020年2月14日星期五3、机器人运动学的研究手段2020年2月14日星期五机械手的运动学研究问题：手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。正问题：已知关节运动，求手的运动。逆问题：已知手的运动，求关节运动。4.1运动学的研究问题、目的和手段实例：以下以教学机械手为例，探讨如何实现机械手自动控制着手点：为求解问题，首先需要建立机械手的数学描述模型。2020年2月14日星期五数学模型：手的运动→位姿变化→位姿矩阵M关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n运动学方程：M=f(qi)，i=1，…，n正问题：已知qi，求M。逆问题：已知M，求qi。4.1运动学的研究问题、目的和手段六自由度机械臂的机构组成和关键尺寸Db—底座直径L1—肩关节中心距离桌面的高度L2—大臂长度L3—小臂长度L4—手腕曲轴轴向跨度W4—手腕曲轴径向跨度L5—指关节曲柄长度L6—滑块连杆长度Lf0—滑块销中心到指尖下基面的垂距Lf1—指尖夹持面的高度Wf—指尖夹持面的宽度Tf—滑块销中心到指尖夹持面的垂距Step1基于机构简图的教学机械手结构建模XYZY1Z1Y2Z2Y4Z4Y3Z3指面2（）向视图1A（）俯视图2XX1Y1Yγ1A向α1α2α3B向指面1β4指面2指面1X4Y4Z4γ4（）向视图3BStep2机械手的任意工位可以用一组关节转角矢量来描述：Q=[q1=γ1,q2=α1,q3=α2,q4=α3,q5=β4,q6=γ4],其中qi分别代表各电机相对中位的转角。数学模型：手的运动→位姿变化→位姿矩阵M关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n运动学方程：M=f(qi)，i=1，…，n正问题：已知qi，求M。逆问题：已知M，求qi。如何具体化此一般模型？如何表示末端位姿M？如何建立末端位姿与关节变量的关系M=f(qi)?如何正逆求解？Q4.2可不可以直接用几何方法建立末端任意点位姿与关节变量的关系？Q4.1手部（末端）位姿如何数学表示？4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五1、机器人的坐标系统手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中的位置和姿态。机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的运动而运动。绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是机器人所有构件的公共参考坐标系。4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五机器人坐标系统示例手部坐标系{h}机座坐标系{0}杆件坐标系{i}i=1，…，n绝对坐标系{B}4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五2、机器人位姿的表示机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有时也会用到其它各个活动杆件在空间的位置和姿态。4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五（1）机器人位置的表示位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。zyxppppzyxｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五（2）机器人姿态的表示姿态可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的余弦值组成3×3的姿态矩阵来描述。ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏｚhｙhｘhｏh),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(hhhhhhhhhzzyzxzzyyyxyzxyxxxR4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五机器人姿态表示方法示例例：右图所示两坐标系的姿态为：ｚ0ｙ0ｘ0ｏ0ｚ1ｙ1ｘ1ｏ110000101001R坐标系0到坐标系1的方向余弦阵),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(10101010101010101001zzyzxzzyyyxyzxyxxxR4.2建立机器人坐标系统2020年2月14日星期五（3）机器人位姿的矩阵表示方法例：右图所示两坐标系的位姿表示为矩阵ｚ0ｙ0ｘ0ｏ0ｚ1ｙ1ｘ1ｏ1坐标系0到坐标系1的位姿变换矩阵，唯一地确定了坐标系1相对于坐标系0的位置和姿态zzzyzxzyzyyyxyxzxyxxxPRM),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(1010101010101010104.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2、齐次坐标变换2020年2月14日星期五4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj坐标之间的变换关系：平移变换旋转变换（1）平移变换设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用矢量表示坐标系{i}和坐标系{j}原点之间的矢量，则坐标系{j}就可以看成是由坐标系{i}沿矢量平移变换而来的，所以称矢量为平移变换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即：4.3建立坐标变换方程ijp1、直角坐标变换2020年2月14日星期五zyxijppppｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjijpijpijp4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五（1）平移变换若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢量和表示，则它们之间有以下关系：称上式为坐标平移方程。irjrjijirprｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjijpirjr（2）旋转变换设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，但它俩的姿态不同，则坐标系{j}就可以看成是由坐标系{i}旋转变换而来的，旋转变换矩阵比较复杂，最简单的是绕一根坐标轴的旋转变换，下面以此来对旋转变换矩阵作以说明。4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj（2）旋转变换①绕z轴旋转θ角坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i}绕轴旋转了一个θ角。θ角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时钟为正。4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ（2）旋转变换①绕z轴旋转θ角若空间有一点p，则其在坐标系{i}和坐标系{j}中的坐标分量之间就有以下关系：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθjijjijjizzyxyyxxcossinsincos（2）旋转变换①绕z轴旋转θ角若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五jjjijjjijjjizyxzzyxyzyxx1000cossin0sincos（2）旋转变换①绕z轴旋转θ角将上式写成矩阵的形式，则有：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五jjjiiizyxzyx1000cossin0sincos（2）旋转变换①绕z轴旋转θ角再将其写成矢量形式，则有：称上式为坐标旋转方程，式中：——p点在坐标系{i}中的坐标列阵（矢量）；——点在坐标系{j}中的坐标列阵（矢量）；——坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵。4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五jzijirRr,irjr,zijR（2）旋转变换——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵，是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j}相对于坐标系{i}的姿态（方向）。4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五,zijR（2）旋转变换②绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五cossin0sincos0001,xijRｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα（2）旋转变换②绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五cos0sin010sin0cos,yijRｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ（2）旋转变换③旋转变换矩阵的逆矩阵旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转θ角为例，其逆向变换即为绕z轴旋转-θ角，则其旋转变换矩阵就为：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五1000cossin0sincos,zijR（2）旋转变换③旋转变换矩阵的逆矩阵比较以下两式：结论：4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五1000cossin0sincos,zjiR1000cossin0sincos,zijRTzijzijRR)()(,1,（3）联合变换设坐标系{i}和坐标系{j}之间存在先旋转变换，后平移变换，则空间任一点在坐标系{i}和坐标系{j}中的矢量之间就有以下关系：称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五jijijirRpr（3）联合变换若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先平移变换，后旋转变换，则上述关系是应如何变化？4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五)(jijijirpRr例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为，求该点在坐标系{A}中的矢量。4.3建立坐标变换方程1、直角坐标变换2020年2月14日星期五kjirB095解：由题意可得平移变换矩阵和旋