离散系统的数学模型

1本节主要内容：1、离散系统的数学定义2、线性常系数差分方程及其解法3、脉冲传递函数4、开环系统脉冲传递函数5、闭环系统脉冲传递函数6、Z变换法的局限性及修正Z变换四、离散系统的数学模型21、离散系统的数学定义将输入序列，变换为输出序列的一种变换关系，称为离散系统。记作如果上式所示的变换关系是线性的，则称为线性离散系统；如果这种变换关系是非线性的，则称为非线性离散系统。四、离散系统的数学模型（1）)(nr,,2,1,0n)(nc)()(nrFnc3⑴线性离散系统如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，即有如下关系式⑵线性定常离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统。四、离散系统的数学模型（2）)()()()(21nbrnarFnrFnc)()(21nrbFnraF)()(21nbcnac)()(nrFnc()()cnkFrnk42、线性常系数差分方程及其解法线性定常离散系统可通过n阶后向差分方程描述即四、离散系统的数学模型（3）121011()(1)(2)(1)()()(1)(1)()nnmmckackackacknacknbrkbrkbrkmbrkmmjjniijkrbikcakc01)()()(K时刻输出与k时刻输入、K时刻前输出、k时刻前输入均有关5线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程来描述：或表示为差分方程的求解方法：经典法、迭代法、Z变换法经典法：解微分方程通解、特解困难！！！四、离散系统的数学模型（4）)()1()1()()()1()1()(11011krbkrbmkrbmkrbkcakcankcankcmmnnmjjniijmkrbinkcankc01)()()(6⑴迭代法若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。例7－16已知差分方程输入序列，初始条件为，试用迭代法求输出序列。解根据初始条件及递推关系，得四、离散系统的数学模型（5）)2(6)1(5)()(kckckrkc1)(kr1)1(,0)0(cc10,,2,1,0),(kkc25)1(6)2(5)3()3(6)0(6)1(5)2()2(1)1(0)0(ccrcccrccc7四、离散系统的数学模型（6）3025)5(6)6(5)7()7(966)4(6)5(5)6()6(301)3(6)4(5)5()5(90)2(6)3(5)4()4(ccrcccrcccrcccrc86526)8(6)9(5)10()10(28501)7(6)8(5)9()9(9330)6(6)7(5)8()8(ccrcccrcccrc8⑵Z变换法利用Z变换的实数位移定理，得到以Z为变量的代数方程，然后对代数方程的解取Z反变换，求得输出序列。例7－17试用变换法解下列二阶差分方程或设初始条件。解对差分方程的每一项进行Z变换，根据实数位移定理：四、离散系统的数学模型（7）)(zC)(kc0)(2)(3)2(***tcTtcTtc0)(2)1(3)2(kckckc1)1(,0)0(cczzCzzcczzCzkcZ)()1()0()()2(2229得Z代数方程四、离散系统的数学模型（8）)(3)0(3)(3)1(3zzCzczzCkcZ)(2)(2zCkcZzzCzz)()23(22123)(2zzzzzzzzC)()2()1()(0*nTttcnnn()(1)(2);0,1,2,...kkckk拉式反变换脉冲传递函数10113、脉冲传递函数⑴脉冲传递函数定义开环离散系统如下图所示，线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为系统的初始条件为零时，输出c*(t)的Z变换C(z)与输入r*(t)的Z变换R(z)之比。脉冲传递函数用G(z)表示，记作四、离散系统的数学模型（9）00)()()()()(nnnnznTrznTczRzCzG离散系统的传递函数12在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号，而不是采样信号，则在系统输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出函数在采样时刻上的离散值。四、离散系统的数学模型（10）)()()()(1*zRzGZzCZtc)(tc()ct)(tc()ct13⑵脉冲传递函数意义输入单位序列：单位脉冲响应序列:即脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数，就等于系统加权序列的Z变换。四、离散系统的数学模型（11）)(zG)(nTK0,00,1)()(nnnTnTr)()(nTKnTc00)()()()()(kkTknrkTKkTrTknKnTc)()()(nTrnTKnTc0)()()(nnznTKzKzG14⑶脉冲传递函数求法连续系统或元件的脉冲传递函数，可以通过其传递函数来求取。脉冲过渡函数的采样拉氏变换记作习惯表示为四、离散系统的数学模型（12）)(zG()Gs**00()()()()()()nnctKtcnTtnTknTtnT**0()()()nsTnGsLKtKnTe0ln1*)()()(nnzTsznTKsGzG)()(*sGzG)()(sGzG1()()KtLGs()(nT)KtK离散化0Cz(z)()nnKKnTz•⑶脉冲传递函数求法•系统加权序列的Z变换•查表直接换算15四、离散系统的数学模型（12）)()(sGzG)(nTK1()()KtLGs()(nT)KtK离散化0Cz(z)()nnKKnTz16例7－18设某环节的差分方程为试求其脉冲传递函数。解对差分方程取Z变换，并由实数位移定理得当时，，在离散系统中其物理意义是代表一个延迟环节。它把其输入序列右移一个采样周期后再输出。四、离散系统的数学模型（13）)(zGTknrnTc)()(kkzzGzRzzC)()()(1k1)(zzG17例7－19设图7－23所示开环系统中的试求相应的脉冲传递函数。解将展成部分分式查Z变换表得四、离散系统的数学模型（14）)()(assasG)(zG)(sGasssG11)())(1()1(1)(aTaTaTezzezezzzzzGG(z)=Z[G(s)]例已知开环离散控制系统如图)10(10ssr*(t)r(t)y*(t)y(t)求脉冲传递函数。解由式（5-61）可知1011()(10)10GzZZssss101010(1)1(1)()TTTzzezzzezze194、开环系统脉冲传递函数⑴采样拉氏变换的两个重要性质1）采样函数的拉氏变换具有周期性，即其中，为采样角频率。2）若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化，则可以从离散符号中提出来，即四、离散系统的数学模型（15）s)(*sE)(sG)()()()(****sEsGsEsG)(*sE**()()sGsGsjk20⑵有串联环节时的开环系统脉冲传递函数1）串联环节之间有采样开关设开环离散系统如图(a)所示，由图可得于是有四、离散系统的数学模型（16）)()()(2zDzGzC)()()()(12zRzGzGzC)()()()()(21zGzGzRzCzG1()()()DzGzRz2）串联环节之间无采样开关设开环离散系统四、离散系统的数学模型（17）G1(s)G2(s)r*(t)r(t)Y*(t)Y(t)等价开环离散系统2212()()()()()YzGzZGsGsRz将记为G1G2(z)12()()ZGsGs1212()[()()]GGzZGsGs1212()()()()()()YzGzZGsGsGGzRz23注意！！！！显然，在串联环节之间有无同路不采样开关隔离时，其总的脉冲传递函数和输出Z变换是不相同的。但是，不同之处仅表现在其零点不同，极点仍然一样。这也是离散系统特有的现象。四、离散系统的数学模型（19）)()()(2121zGGzGzG24⑶有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如下图所示。四、离散系统的数学模型（20）G1(s)seTS1r*(t)r(t)Y*(t)Y(t)由脉冲传递函数的定义有11()()TSeGzZGss11()(1)[()/]GzzZGss25⑶有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数设有零阶保持器的开环离散系统如下图(a)所示。四、离散系统的数学模型（20）26由图(b)可得根据实数位移定理及采样拉氏变换性质，可得四、离散系统的数学模型（21）)()()()(*sRssGessGzCpsTp)()()()()(1zRssGzzRssGzCppssGzzRzCzGp)()1()()()(127例7－21设离散系统如前图所示，已知试求系统的脉冲传递函数。解因为因此，有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数四、离散系统的数学模型（22）)()(assasGp)(zGassasassassGp1111)()(221()(1)()/pGzzZGss))(1(1()1(1aTaTaTaTezzeaTezaTea5.闭环离散控制系统的脉冲传递函数G1(s)G2(s)H(s)r(t)e(t)e*(t)d(t)-b(t)Y*(t)Y(t)图5-23带干扰的闭环线性离散控制系统假定d(t)=0,得到如图5-24所示的结构图G1(s)G2(s)H(s)r(t)e*(t)Y*(t)Y(t)图7-24线性闭环离散控制系统根据脉冲传递函数的定义可知12()()()YzGGzEz(5-70)()()()EzRzBz(5-71)12()()()BzGGHzEz(5-72)将（5-72）代入（5-71），有12()()()()EzRzGGHzEz(5-73)121()()1()EzRzGGHz于是得到：(5-74)定义误差脉冲传递函数Ge(z)为12()1()()1()eEzGzRzGGHz(5-75)将式（5-75）代入式（5-70），有1212()()()1()GGzYzRzGGHz(5-76)于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(z)为1212()()()()1()BGGzYzGzRzGGHz(5-77)32写出下图的闭环系统脉冲传递函数下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。四、离散系统的数学模型（23）33由上图可见，连续输出信号和误差信号的拉氏变换为因此有所以四、离散系统的数学模型（24）)()()(*sEsGsC)()()()(sCsHsRsE)(1)()(***sHGsRsE****()()()1()GsCsRsHGs)()(11)(zRzHGzE)()(1)()(zRzHGzGzC34定义为闭环离系统对于输入量的误差脉冲传递函数。定义为闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数。闭环离散系统的特征方程：四、离散系统的数学模型（25）)(11)()()(zHGzRzEze)(1)()()()(zHGzGzRz