教案 六类有界磁场问题

带电粒子在6类有界磁场中的运动问题一、直线边界(单边有界)二、平行边界（双边有界）三．带电粒子在矩形边界(四边)磁场中的运动四、非平行直线边界五、圆形边界六、带电粒子在环形磁场中的运动一、直线边界(单边有界)1、带电粒子进出磁场具有对称性2、因速度速度方向不同，存在四种可能的运动轨迹，如图。平行于边界入射没画出。3、注意：几何关系六种边界介绍二、平行边界（双边有界）1、因入射速度方向不同，有三类可能的运动轨迹a,b,c2、存在4种临界情况：a中2种，b中1种，c中1种初速度方向与边界平行、垂直、斜交①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出②速度增为某临界值时，粒子作半圆周运动，轨迹与另一边界相切③速度较大时，粒子作部分圆周运动后，从另一边界飞出SvvBP切点vSQP切点QQ①速度较小时，作圆周运动通过射入点；②速度增为某临界值时，粒子作圆周运动，与另一边界相切③速度较大时，粒子作部分圆周运动后，从另一边界飞出圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟边界垂直的直线上圆心在磁场原边界上P切点①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；②速度增为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出分析：粒子初速度方向与边界垂直、平行、斜交时的运动轨迹三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动（四边有界）oBdabcθB1、圆心在磁场原边界上2、圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上①速度较小时粒子沿半圆运动后从原边界飞出②速度在某一范围内时沿圆弧从左边界飞出③速度更大的粒子沿部分圆周从对面边界飞出。①速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出②速度在某一范围内从上边界飞出③速度较大的粒子做部分圆周运动从右边界飞出④速度更大的粒子做部分圆周运动从下边界飞出。vv4、非平行直线边界如:三角形边界等五、圆形边界1、沿半径方向射入必沿半径向射出2、不沿半径入射时，要具体分析3、牛顿定律和几何知识是要点六、环形边界磁场问题1、与圆形磁场相似2、注意圆周运动三确定：圆心、圆周、半径3、所用知识主要是洛伦兹力、向心力、几何知识等典例分析例1一负粒子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入有匀强磁场的真空室中.磁感应强度B的方向与粒子的运动方向垂直.求粒子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.OBSV一、在半无界(单边有界)磁场区中的运动解：经过分析可知，OS的距离即为粒子做圆周运动的直径。初速垂直于边界qBmvRSos22即练习1如图所示，在y0的区域内存在磁感应强度为B匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外。一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求粒子运动的半径和运动时间。xyo解：如图所示作辅助线，由几何知识可得：RL2sin故运动半径为sin2LR运动时间为qBmt22初速与边界斜交练习2如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,方向垂直于纸面向里。许多质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力及粒子间的影响.图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中哪个图是正确的?R=mv/qB.MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.动圆问题解：带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动的半径均相同,在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线所示。各粒子的运动轨迹如图实线所示:带电粒子可能经过的区域如图斜线所示。A对。2RR2RMNO练习3如图，在x轴的下方存在着磁感应强度为B=0.20T、垂直纸面向里的匀强磁场。y=5cm的上方存在着同样的匀强磁场。质量m=1.67x10-27kg、电量q=1.6x10-19C的质子，从原点O以v0=5.0x105m/s的速度沿与x轴30°角斜向上垂直磁场射入，经过上方和下方磁场的偏转作用后，正好以相同的速度经过x轴上的某点A。求：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径（2）A点的坐标。xyOy=5cmyoxACD解：作如图所示辅助线（1）粒子在磁场中运动的半径为qBmvRm20.0106.1100.51067.119527cmm6.2106.22（2）由几何知识可得：OCA是等腰三角形所以ODOA2其中cmCDODODCD3530cot30tan故cmOA310即A点坐标为0103（，）拓展：能求出粒子运动的周期吗？在反向单边有界磁场区中的运动练习4在xoy平面内有两个方向相反的匀强磁场。在y轴左边的磁感应强度为B，右边的磁感应强度为2B。一质量为m、电量为q的电子以速度v与x轴正方向成60°斜向上的从原点射出。求电子每运动一个周期在y轴上前进的距离。OxyOxy解：如图所示作辅助线AB设两圆切点为A，电子第二次从B点通过y轴，则由几何知识可得OA和AB分别对应小圆和大圆的半径。因为电子的入射方向与x轴夹角为60°又因为电子在右边磁场中运动的半径为2mvrqB在左边磁场中运动的半径为mvRqB故电子第二次通过y轴时前进的距离为：32mvyRrqB二、在条形（平行）边界磁场区中的运动例2质子以某一速度垂直射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与入射方向的夹角为θ,求带电粒子在磁场中的运动半径R。d解：如图所示作辅助线，由几何知识可得sindR故sindRθθ练习1如图,匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF.一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD边界间夹角为θ.已知电子质量为m,电荷量为e。为使电子能从磁场的另一侧EF射出,求电子的速率v0至少多大?思路点拨解析当入射速率v0很小时,电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出,速率越大,轨道半径越大,当轨道的边界与EF相切时,电子恰好不能从EF射出。如图所示.电子恰好射出时,由几何知识:r+rcosθ=d又r=所以v0=故电子要射出磁场时速率至少应为：Bem0v)cos1(mBed)cos1(mBedθ练习2如图所示，长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。板间距离也为L，板不带电。质量为m、电量为q的带正电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，为使粒子能够打在极板上，则粒子的速度应满足什么关系？LaboRR-L/2L解：经分析得，粒子打在b点时有最大速度vmax，打在a点时有最小速度vmin。当粒子打在b点时，设对应的半径为R如图所示作辅助线。则由几何知识可得：2222RLLR解得：45LR所以最大速度vmax为maxmax54mvLqBRvqBm当粒子打在a点时，设对应的半径为r则由几何知识可得4Lrminmin4mvLqBrvqBm所以最小速度为故粒子的速度应满足mLqBvmLqB454例3如图，足够长的矩形区域abcd内磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。从ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，大小为v0的带正电的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，重力不计。ad边长为L。求：(1)若粒子能从ab边射出磁场，v0的范围是多大？(2)在满足粒子从ab边射出磁场的条件下，粒子在磁场中运动的最长时间是多少？三、带电粒子在矩形边界（四边有界）磁场中运动V0Oabcdθ300600●●解：(1)当v0有最小值v1时，有：R1＋R1sin30°＝12L由qv1B＝mv21R1得：v1＝qBL/(3m)当v0有最大值v2时有：R2＝R2sin30°＋l2由qv2B＝mv22R2得：v2＝qBL/m，所以带电粒子从磁场中ab边射出时，其速度范围应为：3qBLmv0qBLm(2)要使粒子在磁场中运动时间最长，其轨迹对应的圆心角应最大，由(1)知，当速度为v1时，粒子在磁场中运动时间最长，对应轨迹的圆心角为：θ＝43π则tmax＝4/3π2π·2πmqB＝4πm3qB.答案：(1)qBl3mv0qBlm(2)4πm3qB在中空四边有界磁场区的运动练习1如图，在无限宽的匀强磁场B中有边长为L的正方形无磁场区域。在正方形的四条边上分布着八个小孔，每个小孔到各自最近顶点的距离都为L/3。一质量为m、电量为+q的粒子，垂直匀强磁场从孔A射入磁场，求粒子再次回到A点的时间。A解：经分析粒子运动过程可知，粒子经过四次圆周运动四次匀速直线运动后回到出发点。每次圆周运动的时间为四分之三个周期，即Tt431每次匀速直线运动的时间为vLt2所以粒子经历的时间为vLTttt43421又因为qBmvRL3所以qBmt32qBm62例4如图，在一底边长为2a，θ＝30°的等腰三角形区域内(D在底边中点)，有垂直纸面向外的匀强磁场．一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从D点垂直于EF进入磁场，不计重力．(1)若粒子恰好垂直于EC边射出磁场，求磁场的磁感应强度B=？(2)改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED板，求粒子从进入磁场到第一次打到ED板的最长时间是多少？四、带电粒子在非平行直线边界磁场中的运动解：(1)依题意，粒子经电场加速射入磁场时的速度为v由动能定理qU＝12mv2得v＝2qUm粒子在磁场中做匀速圆周运动，其圆心在E点，如图所示，半径r1＝a由洛伦兹力提供向心力：qvB＝mv2r1则B＝1a2mUq.(2)由t=πr/v可知，粒子速率恒定，半径越大，运动时间越长。如图，轨迹与EC边相切时，半径最大。设圆周半径为r2.由图中几何关系r2＋r2sinθ＝a得：r2＝13a最长时间t＝πr2v由以上各式联立得：t＝πa3m2qU【答案】(1)1a2mUq(2)πa3m2qU练习1如图,边长为L的等边三角形ABC为两个匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,三角形外的磁场(足够大)方向垂直纸面向里,磁感应强度大小也为B.把粒子源放在顶点A处,它将沿∠A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v=qBL/m的负电粒子(粒子重力不计).求:(1)从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少?(2)带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期.解：(1)带电粒子垂直进入磁场,做匀速圆周运动将已知条件代入得：r=L从A点到达C点的运动轨迹如图所示,可得：2πmTqB2mvqvBr16ACtTπ3ACmtqB(2)带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第(1)问图所示.粒子通过圆弧从C点运动至B点的时间为带电粒子运动的周期为TACB=3(tAC+tCB)解得55π63BCmtTqB6πABCmTqBqBm3πqBmπ6答案(1)(2)练习2在直角坐标系的第Ⅱ、第Ⅳ象限中的直角三角形区域内,分部着磁感应强度均为B=5.0×10-23T的匀强磁场，方向如图。质量为m=6.64×10-27kg、电荷量为q=+3.2×10-19C的α粒子，由静止开始经电压为U=1205V的电场(图中未画出)加速后,从M(-4,)点处平行于x轴向右运动,并先后通过匀强磁场区域.不计α粒子重力。(1)求出α粒子在磁场中的运动半径.2解：(1)α粒子在电场中被加速,由动能定理得qU=1/2mv2α粒子在磁场中偏转,由牛顿第二定律得2mvqvBr271912126.6410120520.053.210mUrmmBq联立解得解：如图所示(2)在图中画出α粒子从直线x=-4到直线x=4之间的运动轨迹,并在图中标明轨迹与直线x=4交点的坐标.解：带电粒子在磁场中的运动周期α粒子在两个磁场中偏转的角度均为π/4,在磁场中的运动总时间-52π=2.