2011年高考数学一轮精品复习课件：第6章《数列》――数列

学案1数列返回目录1.按照叫做数列.数列中的叫做这个数列的项；在函数意义下，数列是定义域为的函数，f（n）是当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f（1），f（2），…，f（n）,….通常用an代替f（n），故数列的一般形式为：a1，a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an是数列的第项.一定次序排列着的一列数每一个数N*或它的子集n返回目录2.如果数列{an}的与序号之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示,那么an=f(n)叫做数列的.但并非每个数列都有通项公式,也并非都是唯一的.3.如果已知数列{an}的第项(或),且从第二项(或某一项)开始的与它的(或)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.数列常用的表示法有:(通项公式或递推公式)、、.第n项n通项公式1前几项任一项an前一项an-1前几项解析法列表法图象法4.数列按项数来分,分为、；按项的增减规律分为、、和.an+1an;an+1an;an+1an.递增数列与递减数列通称为.按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分，可分为和.，（n=1），（n≥2）.an≥an-1,an≤an-1,an≥an+1.an≤an+1.返回目录Sn-Sn-15.已知Sn，则an=数列{an}中，{{{若an最大，则若an最小，则⇔⇔⇔有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜=单调数列有界数列无界数列S1返回目录写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2）…；（3）-1，,…;（4），…；（5）3，33，333，3333，….考点一由数列前几项求数列通项公式,3231,1615,87,43,21,53,51,-43,31-,231337,1126,917,-710,1-,32返回目录【分析】先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系.【解析】（1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24,…,所以an=.（3）奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,nn21-2返回目录所以an=(-1)n·.-(n为正奇数)(n为正偶数).(4)偶数项为负,奇数项为正,故通项公式必含因子(-1)n+1,观察各项绝对值组成的数列,从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1，2两项可改写为，,所以an=（-1）n+1.n(-1)+2nn1n3也可写为an={12112++12212-2+×+12n1n2++(5)将数列各项改写为,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).,39999,3999,399,3931返回目录返回目录【评析】(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求.（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整.（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）建立合理的联想、转换而使问题得到解决.＊对应演练＊根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1），，，，…；（2）1，3，6，10，15，…；（3），，-，，…；（4）7，77，777，….5421114722141851613返回目录返回目录(1)注意前四项中有两项的分子均为4，不妨把分子都统一为4，即：，，，，….因而有an=.(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显，再把各项同乘以2再除以2，即,…,因而有an=.548411414423n4+265,254,243,232,221×××××2)1n(n+(3)其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分子后三项绝对值递增，且比分母小3.又注意到第三项为负，而第一项的分子也可以写成-(-1),∴an=(-1)n.(4)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9,99,999,….∴an=（10n-1）.返回目录97nn23-2返回目录已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式.（1）Sn=2n2-3n；（2）Sn=3n-2；（3）Sn=3an-2.考点二公式法求通项公式直接求通【分析】由公式S1n=1Sn-Sn-1n≥2项公式.{an=【解析】(1)a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5.由于a1也适合此等式,因此an=4n-5(n∈N*).(2)a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.1（n=1），2·3n-1（n≥2）.返回目录∴an={(3)∵an=Sn-Sn-1=（3an-2）-（3an-1-2），∴an=an-1（n≥2）.又a1=S1=3a1-2，∴a1=1.∴{an}是以1为首项，为公比的等比数列.∴an=1·()n-1=()n-1.23232323返回目录【评析】数列的通项an与前n项和Sn的关系是S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）,视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一.当n≥2时求出an也适合n=1时的情形，可直接写成an=Sn-Sn-1，否则分段表示.返回目录{此公式经常使用，应引起足够的重an=返回目录＊对应演练＊已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0（n≥2）,a1=,求an.21∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1，∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即=2,∴数列{}是公差为2的等差数列.又S1=a1=12,∴=2,∴=2+(n-1)·2=2n，∴Sn=.∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2··=-，（n=1）（n≥2）.返回目录-1nnS1-S1nS11S1nS12n12n11)-2(n11)-2n(n1211)-2n(n1-∴an={返回目录已知数列{an}的通项an=（n+1）()n（n∈N*）,试问数列{an}中是否存在最大项？若存在，求出最大项，若不存在，请说明理由.【分析】通过作差来比较an+1与an的大小关系.考点三数列的单调性1110【解析】an+1-an=（n+2）()n+1-（n+1）()n=()n·.当n＜9时,an+1-an＞0,即an+1＞an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n＞9时,an+1-an=0,即an+1＜an.故a1＜a2＜a3＜…＜a9=a10＞a11＞a12＞…,所以数列中有最大项为第9,10项.返回目录11101110111011n-9返回目录【评析】因an是n的函数，难点在于an是一个一次函数（n+1）与一个指数函数()n的积,不好确定其增减性,故从比较an+1与an的大小入手.1110返回目录＊对应演练＊已知an=n-,判断数列{an}的单调性.²n+1返回目录利用作商比较相邻两项的大小.∵又显然an＜0,∴an+1＞an,故数列{an}是递增数列.22n1nn1-n)1n(1-1naa++++=+[][][]222222)1n(11n)n1(n)n1-(n)n1(n)1n(1-1)(n)1n(1-1n+++++++++++++++=1)1n(11)(n)n1(n22++++++=返回目录1.用归纳法据前几项写出数列的一个通项公式,体现了由特殊到一般的思维方法,需要我们有一定的数学观察能力和分析能力,并熟知一些常见的数列的通项公式,如:数列{n2},{2n},{(-1)n},{2n},{2n-1}.2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、图形、文字所表示的数学问题，要有目的的观察并得出结论，是学习数学应重视的能力，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度进行观察.观察的结果要准确、完整、深刻.3.求数列的通项公式是本学案的重点，主要掌握两种求法：（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.（2）数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中.返回目录