3.1.3导数的几何意义

2020/2/133.1.3导数的几何意义2020/2/13平均变化率的概念：一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点则当△x≠0时，商称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。00()()fxxfxyxx记△x=x1－x0=f(x0+△x)－f(x0).则△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)2020/2/13求函数f(x)的平均变化率的一般步骤:x)x(f)xx(fxy001、计算函数值的改变量ΔyΔy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)2、计算自变量的改变量ΔxΔx=x-x03、计算平均变化率：2020/2/13函数的瞬时变化率：00()()fxxfxyxx当△x0时，常数l常数称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率l000()()limxfxxfxlx上述过程记作2020/2/13000000'''|lim.xxxfxxfxfxyfxx记作或即处的在我们称它为函数处的瞬时变化率是在函数一般地00000,lim,xxxfyxxfxxfxxxfyx导数00'.fxfxx表示函数点y在处的导数=一.导数的概念2020/2/13'''()()xfxyy或或即00''()()()limlimxxyfxxfxyfxxx如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数,这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作'fx2020/2/13由定义求导数（三步法）步骤:;)()()2()()()1(0000xxfxxfxyxfxxfy算比值算增量AxyXA时，求导数0)3(2020/2/13例1.求y=x2在点x=1处的导数222(1)1(1)12()yfxfxxx22()2yxxxxx'00'1limlim(2)212xxyfxxf2020/2/13练习：)(,)('2xfxxf求已知xxf2)('2020/2/13二、导数的几何意义:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!2020/2/13PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.2020/2/13我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.2020/2/13求切线方程的一般步骤：)(3)(2,1000'00xxkyyxfkyxP）点斜式（）斜率（）（）切点（2020/2/13例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.2020/2/13）的切线方程在点（求双曲线例212,12xy14141xyk切线方程2020/2/13的切线方程过点求抛物线例)6,25(32xy9644xyxy或2020/2/13小结：导数的几何意义求切线方程的一般步骤