一轮复习-直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质(1)定义：如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，则直线l与此平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_________．任意一条相交平行1．直线与平面垂直要点梳理(1)定义：如果两个平面所成的二面角是_____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_______，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_______________的直线与另一个平面垂直．直二面角垂直于交线垂线2．平面与平面垂直要点梳理(1)...(2).直线和平面所成的角：①如果直线平行平面或在平面内,则它和平面所成的角大小为___②如果直线垂直于平面,则它和平面所成的角的大小为___③如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的______所成的___角，称之为直线和平面所成的角直线和平面所成的角的范围是______3．线面角射影锐要点梳理(1)二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作____________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的平面角的范围：_________.两个半平面垂直于棱4．二面角的有关概念要点梳理判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直..mnmnPllmlnlnmP1．直线与平面垂直要点梳理性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.1．直线与平面垂直aabb∥abab要点梳理判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.2．平面与平面垂直b要点梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线．②垂直于同一个平面的两条直线．③垂直于同一直线的两平面．忆一忆知识要点相交垂直任意平行平行要点梳理2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：一个平面经过另一个平面的，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面．忆一忆知识要点一条垂线交线要点梳理4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作与棱于棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．忆一忆知识要点两个半平面垂直要点梳理[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.直线与平面垂直的判定与性质证明(1)由四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．探究提高例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA.平面与平面垂直的判定与性质证明(1)如图所示，取EC中点F，连结DF.∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，∴DB⊥平面ABC.∴DB⊥AB.∵BD∥CE，BD＝12CE＝FC，∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC.又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△ADB，∴DE＝DA.(2)如图所示，取AC中点N，连结MN、NB，∵M是EA的中点，∴MN綊12EC.由BD綊12EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA.又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM⊂平面BDM，∴平面ECA⊥平面BDM.面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决．探究提高(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD，所以QA⊥DC，又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.线面、面面垂直的综合应用在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝22PD，则PQ⊥QD.又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.(2)解设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝13a3.由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝2a，△DCQ的面积为22a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝13a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.例4如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD⊥平面ABF；(3)求二面角B－EF－A的正切值．线面、二面角的求法(1)作出(找出)异面直线CE与AF所成的角∠CED.(2)证明CD⊥AF、CD⊥AB即可．(3)作出(找出)二面角B—EF—A的平面角．(1)解因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED.所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD.故ED⊥CD.在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝22，CE＝CD2＋ED2＝3，所以cos∠CED＝EDCE＝223.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为223.(2)证明如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB.又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.(3)解由(2)及已知，可得AG＝2，即G为AD的中点．取EF的中点N，连结GN，则GN⊥EF.因为BC∥AD，所以BC∥EF.过点N作NM⊥EF，交BC于点M，则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．连结GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，从而BC⊥GM.由已知，可得GM＝22.由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM.在Rt△NGM中，tan∠GNM＝GMNG＝14.所以二面角B－EF－A的正切值为14.解二面角首先要作出其平面角，一种重要的方法就是垂线法，即在二面角的一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过这条垂线的垂足作二面角棱的垂线，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面，问题就解决了．这里的关键是如何作一个面的垂线，一个最重要的思路就是根据面面垂直的性质定理，在两个互相垂直的平面中的一个平面内作它们交线的垂线．探究提高例1.(09·天津)如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．(1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为DA＝CD，且DB平分∠ADC，又E为PC的中点，PA⊄平面BDE，故EH∥PA.所以PA∥平面BDE.所以H为AC的中点．又EH⊂平面BDE,例1.(09·天津)如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.例1.(09·天津)如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.可得DH＝CH＝22，BH＝322.在Rt△BHC中，tan∠CBH＝CHBH＝13.(3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝22，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13.可得DH＝CH＝22，BH＝322.在Rt△BHC中，tan∠CBH＝CHBH＝13.可得DH＝CH＝22，BH＝322.在Rt△BHC中，tan∠CBH＝CHBH＝13.(3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．(3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．(3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．(3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．(1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的.PABCO外心例2.关于三角形的四心问题设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____点.中PABCO例2.关于三角形的四心问题垂心EFPABCO(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC的.例2.关于三角形的四心问题(4)若P到△ABC三边的距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的________.DE