一轮复习-直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质1，(公理4）平行于同一直线的两条直线互相平行。2，垂直于同一平面的两条直线互相平行。3，（线//面）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。4，（面//面）一个平面丙个平行平面相交，则交线平行。1，（据定义）如果一条直线和一个平面没有公共点。2，（线//线）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。3，（面//面）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。4，平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面。5，平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面。1，（定义）没有公共点。2，（线//面）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行。3，垂直于同一直线的两个平面平行。4，平行于同一平面的两个平面平行。线//线线//面面//面2．平行问题的转化方向如图所示：一、直线与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行._____________________a∥abba∥2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行._____________________ab∥a∥ab二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条___________与另一个平面平行，则这两个平面平行___________________________________a∥ababPa∥b∥相交直线2.两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_____，那么它们的_____平行_____________________ab∥a∥ab相交交线例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.直线与平面平行的判定与性质证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．证明方法一如图所示．作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE＝QBBD，QNDC＝BQBD，∴PMAB＝QNDC，∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如图，连结AQ，并延长交BC延长线于K，连结EK，∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ，又AD∥BK，∴DQBQ＝AQQK，∴APPE＝AQQK，∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连结QM.∴PM∥平面BCE，又∵平面ABEF∩平面BCE＝BE，∴PM∥BE，∴APPE＝AMMB，又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ，∴AMMB＝DQQB，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，BE∩BC＝B，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ.∴PQ∥平面BCE.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.变式训练1证明如图，连结AC交BD于点O，连结MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.则有PA∥平面BMD.(根据直线和平面平行的判定定理)∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.(根据直线和平面平行的性质定理)-14-考点二平面与平面平行的判定与性质【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.-15-证明:(1)如图,连接SB,∵E,G分别是BC,SC的中点,∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.变式训练2证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B、QB⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.线面、面面平行的综合应用-20-如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是平行四边形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点.在线段PD的中点E。求证：NM∥平面ACE-21-考点一考点二考点三解:证明如下:如图,取PD的中点E,连接NE,EC,AE,因为N,E分别为PA,PD的中点,所以NE�12AD.又在平行四边形ABCD中,CM�12AD,所以NE�MC,即四边形MCEN是平行四边形.所以NM�EC.又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE,所以MN∥平面ACE,即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE.