中考中与平行四边形有关的动点问题探究

中考中与平行四边形有关的动点问题探究例12012年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1图2思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答（1）QB＝8－2t，PD＝43t．（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图3在Rt△APE中，23cos5AEAAPt，所以103t．当PQ//AB时，CQCPCBCA，即106386CQ．解得329CQ．所以点Q的运动速度为3210169315．（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（62t，t）．经验证，点M（62t，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．图4图5图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,422.abcabcabc解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．例22012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1思路点拨1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．满分解答（1）A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入点C(3,0)，可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因为PE//BC，所以2APABPEBC．因此1122PEAPt．所以点E的横坐标为112t．将112xt代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝2144t．所以点G的纵坐标为2144t．于是得到2211(4)(4)44GEtttt．因此22111()(2)1244ACGAGECGESSSGEAFDFttt．所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．（3）2013t或2085t．考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．1(1,4)2Ett，1(1,4)2Ft，(3,)Qt，(3,0)C．如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此2221(2)(4)2ttt．整理，得240800tt．解得12085t，22085t（舍去）．如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此2221(2)(42)2ttt．整理，得213728000tt．(1320)(40)0tt．所以12013t，240t（舍去）．图2图3例32011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数334yx的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数32yx的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数334yx的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．满分解答（1）当x＝0时，3334yx，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为32．将32y代入32yx，得x＝1．所以点M的坐标为3(1,)2．因此132AM．（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M3(1,)2，所以3,31.2cbc解得52b，3c．所以二次函数的解析式为2532yxx．（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入2532yxx，得23216103mmm．解得12m或者m＝0（舍去）．因此点C的坐标为（2，2）．图2图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为727(,)416．图4例42011年江西省中考第24题将抛物线c1：233yx沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．3．根据矩形的对角线相等列方程．满分解答（1）抛物线c2的表达式为233yx．（2）抛物线c1：233yx与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)．抛物线c2：233yx与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)．抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(,3)m，与x轴的两个交点为(1,0)Am、(1,0)Bm，AB＝2．抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为(,3)m，与x轴的两个交点为(1,0)Dm、(1,0)Em．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时123ABAE，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如图3，B在D的右侧，此时223ABAE，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得12m．图2图3图4②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．考点伸展第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为3，所以△ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．例52010年山西省中考第26题在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1图2思路点拨1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．满分解答(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．(2)因为OE＝2EB，所以223EBxx，243EByy，E(2,4)．设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得5,24.bkb解得12k，5b．所以直线DE的解析式为152yx．(3)由152yx，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55．①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,52)，点N的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF，得NPPONODOOFDF，即551055NPPO．解得5NP，25PO．此时点N的坐标为(25,5)．图3图4考点伸展如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．图5图6例62009年江西省中考第24题如图1，抛物线322xxy与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段P