3.2立体几何中的向量方法(一)

（一）平面向量空间向量推广到立体几何问题复习回顾：2、如何确定一个点、一条直线、一个平面在空间的位置？1、构成空间图形的基本元素：点、直线、平面新知探究：OPOP在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。OP（一）、点的确定：向量称为点的位置向量OPP一、基本元素的向量表示aAB（二）、直线的确定：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.la叫直线的方向向量lP那么对于上任意一点，Aall这样，点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点．lABa在上取，,APtABt一定存在实数使得P空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定．Oab如图,设这两条直线相交于点,其方向向量分别为和，P为平面上任意一点，(,),.xyOPxayb由平面向量基本定理知，存在有序实数对使Oab这样,点与向量，不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点,这种表示在解决几何问题时有十分重要的作用．ab·P（三）、平面的确定：Oab1、点与向量，如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnnnl2、平面的法向量：2.一个平面的所有法向量都互相平行;注意：1.法向量一定是非零向量;n3、给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nnA二、基本元素间位置关系的向量表示（一）、两条直线：,,lmabrr设直线的方向向量分别为////.lmabakbkRrrrr0lmababrrrrgmbrlarlarmbr线线平行线线垂直ua（二）、直线与平面：l,laurr设直线的方向向量为平面的法向量为//0lauaurrrrg//.lauakukRrrrrual线面平行线面垂直设平面,的法向量分别为,uv，∥u∥v.ukvuv（三）、两个平面：⊥u⊥v.0vuuv面面平行面面垂直,,,//,//lmlmlmlm直线和平面，其中，　　　与相交，已知：．//求证：．,,,,hlmpabp在内任取一条直线，　设的方向向量分证明　别为：，,,,,,.lmlmxypxayb且相交存在实数，使例1.证明平面和平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行．例题讲解例1.证明平面和平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行．,,,//,//,,0,0,uvlmavbvavbv设的法向量分别为，()0,//,//.pvxaybvxavybvvvuv的法向量与内的任一直线垂直，也是的法向量，pxayb，直线a，b的方向向量分别为a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，则()A．a∥b或a与b重合B．a⊥bC．a与b相交但不垂直D．a与b异面但不垂直解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，∴b＝－2a，∴a与b共线．即a∥b或a与b重合．巩固训练A,,//lmlmlm直线和平面，其中，已知：．//l求证：．,,lmabu设的方向向量分别为，平面的法向：量证明．//(),lmakbkR，练习：证明直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,则该直线与这个平面平行．,,,0,umubub()0,//.uaukbl,,.lll直线和平面，其中且已知：求证：．,,lauv设直线的方向向量为平面的法证向量分别为，明：．,//,(),lauukakR练习：证明平面和平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．,0,()0,lavuvkav于是．,,lmabuv设直线的方向向量分别为，，平面的法向量分别为，，则有////()lmabakbkR线线平行：//0lauau线面平行：1.空间平行关系的向量表示：////()uvukvkR　面面平行：线线平行包括线线重合，　　　线面平行包括线在面内，　　　面面平行包括面面重合．注意：课时小结,,lmabuv设直线的方向向量分别为，，平面的法向量分别为，，则有0lmabab线线垂直：//()lauakukR线面垂直：2.空间垂直关系的向量表示：0uvuv面面垂直：1(0,2,3),(2,0,-1),(3,-4,0)ABC.BC例：已知A求平面的法向量问题：如何求平面ABC的单位法向量呢？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(求法向量的步骤：21练习：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.例2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为(22，22，0)、(0,0,1)．∴NE＝(－22，－22，1)．又点A、M的坐标分别是(2，2，0)、(22，22，1)，∴AM＝(－22，－22，1)．∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE平面BDE，AM平面BDE.∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝(－22，－22，1)，∵D(2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)．∴AM·DF＝0.∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.作业1:已知垂直于正方形所在的平面,分别是的中点,并且,求证:PAABCD,MN,ABPCPAADMNPDC平面ADBPCMNxyz2、正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC求异面直线BE与AC所成的角的余弦值练习1:已知垂直于正方形所在的平面,分别是的中点,并且,求证:PAABCD,MN,ABPCPAADMNPDC平面证明:分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则,,ijkAxyzADBPCMNxyz,,,,,1PAADABPAACADABDAiABjAPkPA且平面可设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P1111(0,,0),(,,)2222MN11(,0,)22MN(1,0,1)PD(0,1,0)DC11(,0,)(1,0,1)022MNPDMNPD11(,0,)(0,1,0)022MNDCMNDCPDDCDMNPDC又平面例3、正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC求异面直线BE与AC所成的角的余弦值(2)由(1)得AF，AB，AC两两垂直，则以A点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23，0)，E(－1，3，2)．AC＝(0,23，0)，BE＝(－3，3，2)，cos〈AC，BE〉＝AC·BE|AC||BE|＝623×4＝34，即异面直线BE与AC所成的角的余弦值为34.解：