2014届高考数学二轮复习_专题三_三角函数、三角恒等变换与解三角形课件资料

——基础知识必备——三角恒等变换与解三角形三角函数专题复习3:——基础检测——核心知识聚焦1.(2010·福建卷改编)sin43cos13－sin13cos43＝________．2.（2012·陕西卷改编）设向量与b＝，a)(1cos＝0垂直,则q2cos＝___θ)cos2,1(q3．(2012·重庆卷改编)设tanβ是方程的两个根，则tan0232xx的值为)tan(-34．(2012·江西卷改编)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝________________43215．[2012·天津卷改编]在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知则cosC＝________．8b=5c.C=2B.257考向一高考中三角恒等变换的常见问题考向：利用三角恒等变换公式（同角三角函数关系、诱导公式、两角和差公式、倍角公式等）求解三角函数值，对三角函数式进行恒等变换等.例1(1)[2013·重庆卷]4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)[2013·浙江卷]已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43命题考向探究CC［解析］（1）原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos（40°－30°）－sin40°cos40°＝2（cos40°cos30°＋sin40°sin30°）－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3，故选C.命题考向探究（2）由（sinα＋2cosα）2＝（102）2，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝104＝52，4sinαcosα＋1＋3cos2α＝52，2sin2α＋1＋3×1＋cos2α2＝52，故2sin2α＝－3cos2α2，所以tan2α＝－34，选择C.三角恒等变换方法总结：掌握两角的和差及倍角公式的正用，逆用和变用。（1）化同名：“切割化弦”，“1的代换”等技巧；如齐次式。（2）化同角：减少未知角或把未知角用已知角表示。其核心是角的变化，如保角变换等；（3）化同次：一般是降次。命题考向探究注意：通过角的范围确定函数值得符号.考向二：根据正弦定理、余弦定理解三角形.例2[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5命题考向探究D练习：实际应用例3某湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．现在可以方便的测得A，B两点间的距离为AB＝100m，如图3－8－1所示，同时也能测量出∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，求P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离．命题考向探究解：（1）在△PAB中，∠APB＝180°－（75°＋60°）＝45°，由正弦定理APsin60°＝ABsin45°⇒AP＝506.（2）在△QAB中，∠ABQ＝90°，∠QAB＝45°，AB＝100，∴AQ＝1002.∠PAQ＝75°－45°＝30°，由余弦定理PQ2＝（506）2＋（1002）2－2·506·1002cos30°＝5000，∴PQ＝5000＝502.答：P，Q两棵树之间的距离为502m，A，P两棵树之间的距离为506m.小结：2tan)2tan(,2cos)2cos(,2sin)2sin(tan)tan(,cos)cos(,sin)sin()2(CBACBACBACBACBACBACBAABC可得以下变换中利用BABAbasinsinAbcacbbcacbAAbccbacos2)2(2coscos2)1(2222222222.把握余弦定理公式及变形公式：注意利用三角形本身固有性质解题：(1)结合大边对大角进行取舍。1.求解三角形搞清楚：角化边，边化角。命题考向探究考向三三角函数与解三角形的综合三角函数与解三角形的综合、在三角形中进行三角恒等变换、在三角形中研究三角函数的性质等.例3已知向量m＝（3sinx4，1），n＝（cosx4，cos2x4）记f(x)＝m·n.(1)若f(α)＝32，求cos（2π3－α）的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，若f(A)＝1＋32，试判断△ABC的形状．命题考向探究解：f（x）=3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.（1）由已知f（α）＝32得sinα2＋π6＋12＝32，于是α＝4kπ＋2π3，k∈Z，∴cos（2π3－α）＝cos（2π3－4kπ－2π3）＝1.（2）根据正弦定理得，（2a－c）cosB＝bcosC⇒（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC即2sinAcosB＝sin（B＋C）＝sinA即cosB＝12⇒B＝π3.∵f（A）＝1＋32，∴sinA2＋π6＋12＝1＋32⇒sinA2＋π6=23∵0A2π3∴)2,0(32A∴362A∴A＝π3，因此△ABC为等边三角形.命题考向探究三角问题规律方法：一、是三角形中有关边角互化的问题。二、凡是三角公式变换的问题都可以从分析角、函数类型和基本函数性质这三个方面的差异作为入手解题的突破口。三、体现数形结合，转化化归，函数方程、不等式的思想方法。10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，cosB)，n＝(2c＋b，a)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．3221cos0)sin(cossin20cossincos)sinsin2(0coscos)2(1AABAACBAABCBaAbcnmnm）解：（33431621616cos243sin21)2(2222222SbcbcbccbbccbAbccbabcAbcS面积由余弦定理得：核心知识聚焦[答案]725［解析］∵8b＝5c，由正弦定理得8sinB＝5sinC，又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB，易知sinB≠0，∴cosB＝45，cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.5．[2012·天津卷改编]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________．