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1考点四:小船渡河模型1.(小船渡河问题)小船在200m宽的河中横渡,水流速度是2m/s,小船在静水中的航速是4m/s.求:(1)要使小船渡河耗时最少,应如何航行?最短时间为多少?(2)要使小船航程最短,应如何航行?最短航程为多少?答案(1)船头正对河岸航行耗时最少,最短时间为50s.(2)船头偏向上游,与河岸成60°角,最短航程为200m.解析(1)如图甲所示,船头始终正对河岸航行时耗时最少,即最短时间tmin=dv船=2004s=50s.(2)如图乙所示,航程最短为河宽d,即最短航程为200m,应使v合的方向垂直于河岸,故船头应偏向上游,与河岸成α角,有cosα=v水v船=24=12,解得α=60°.2、一小船渡河,河宽d=180m,水流速度v1=2.5m/s.若船在静水中的速度为v2=5m/s,求:(1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少?(2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少?答案(1)船头垂直于河岸36s905m(2)船头向上游偏30°243s180m3、已知某船在静水中的速率为v1=4m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100m,河水的流动速度为v2=3m/s,方向与河岸平行.试分析:(1)欲使船以最短时间渡过河去,船的航向怎样?最短时间是多少?到达对岸的位置怎样?船发生的位移是多大?(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短,船的航向又应怎样?渡河所用时间是多少?解析(1)根据运动的独立性和等时性,当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时,渡河所用时间最短.设船头指向上游且与上游河岸夹角为α,其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸,不影响渡河快慢,船在垂直河岸方向上的分速度v⊥=v1sinα,则船渡河所用时间为t=dv1sinα.显然,当sinα=1即α=90°时,v⊥最大,t最小,此时船身垂直于河岸,船头始终垂直指向对岸,但船实际的航向斜向下游,如图所示.渡河的最短时间tmin=dv1=1004s=25s船的位移为l=v21+v22tmin=42+32×25m=125m船渡过河时到达正对岸的下游A处,其顺水漂流的位移为x=v2tmin=3×25m=75m.(2)由于v1>v2,故船的合速度与河岸垂直时,船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游,且与河岸成θ角,如图所示,则cosθ=v2v1=34,θ=arccos34.船的实际速度为v合=v21-v22=42-32m/s=7m/s故渡河时间:t′=dv合=1007s=10077s.答案(1)t=25s,x=75m,l=125m(2)t=10077s4、河宽60m,水流速度v1=6m/s,小船在静水中的速度v2=3m/s,则:(1)它渡河的最短时间是多少?(2)最短航程是多少?答案(1)20s(2)120m5.(单选)一小船在静水中的速度为3m/s,它在一条河宽为150m,水流速度为4m/s的河流中渡河,则该小船().答案CA.能到达正对岸B.渡河的时间可能少于50s2甲乙AC.以最短时间渡河时,它沿水流方向的位移大小为200mD.以最短位移渡河时,位移大小为150m6.一只小船在静水中的速度为5m/s,它要渡过一条宽为50m的河,河水流速为4m/s,则()答案CA.这只船过河位移不可能为50mB.这只船过河时间不可能为10sC.若河水流速改变,船过河的最短时间一定不变D.若河水流速改变,船过河的最短位移一定不变7.(运动的合成和分解)某河宽为600m,河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系如图所示.船在静水中的速度为4m/s,要想使船渡河的时间最短,下列说法正确的是()答案ADA.船在航行过程中,船头应与河岸垂直B.船在河水中航行的轨迹是一条直线C.渡河的最短时间为240sD.船离开河岸400m时的速度大小为25m/s8.(多选)小船横渡一条两岸平行的河流,船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸,水流速度与河岸平行,已知小船的运动轨迹如图所示,则()答案ACA.越接近河岸水流速度越小B.越接近河岸水流速度越大C.无论水流速度是否变化,这种渡河方式耗时最短D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响9.(单选)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为()答案BA.kvk2-1B.v1-k2C.kv1-k2D.vk2-1解析设大河宽度为d,小船在静水中的速度为v0,则去程渡河所用时间t1=dv0,回程渡河所用时间t2=dv20-v2.由题知t1t2=k,联立以上各式得v0=v1-k2,选项B正确,选项A、C、D错误.10.(单选)如图所示,甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河,河宽为H,河水流速为u,划船速度为v,出发时两船相距H332,甲、乙船头均与岸边成60角,且乙船恰好能直达对岸的A点,则下列判断正确的是(D)A.甲、乙两船到达对岸的时间不同B.两船可能在未到达对岸前相遇C.甲船在A点右侧靠岸D.甲船也在A点靠岸11.如图所示,一艘轮船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河,河中各处水流速度都相同,其大小为v1=3m/s,行驶中,轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火,轮船牵引力随之消失,轮船相对于水的速度逐渐减小,但船头方向始终未发生变化.求:(1)发动机未熄火时,轮船相对于静水行驶的速度大小;(2)发动机熄火后,轮船相对于河岸速度的最小值.答案(1)5m/s(2)2.4m/s解析(1)发动机未熄火时,轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直,如图所示,故此时船相对于静水的速度v2的大小:v2=v2+v21=42+32m/s=5m/s,设v与v2的夹角为θ,则cosθ=vv2=0.8.(2)熄火前,船的牵引力沿v2的方向,水的阻力与v2的方向相反,熄火后,牵引力消失,在阻力作用下,v2逐渐减小,但其方向不变,3当v2与v1的矢量和与v2垂直时,轮船的合速度最小,则vmin=v1cosθ=3×0.8m/s=2.4m/s.12.如图所示,河宽d=120m,设小船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2.小船从A点出发,在渡河时,船身保持平行移动.若出发时船头指向河对岸上游的B点,经过10min,小船恰好到达河正对岸的C点;若出发时船头指向河正对岸的C点,经过8min,小船到达C点下游的D点.求:(1)小船在静水中的速度v1的大小;(2)河水的流速v2的大小;(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.答案(1)0.25m/s(2)0.15m/s(3)72m解析(1)小船从A点出发,若船头指向河正对岸的C点,则此时v1方向的位移为d,故有v1=dtmin=12060×8m/s=0.25m/s.(2)设AB与河岸上游成α角,由题意可知,此时恰好到达河正对岸的C点,故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小,即v2=v1cosα,此时渡河时间为t=dv1sinα,所以sinα=dv1t=0.8,故v2=v1cosα=0.15m/s.(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD=v2tmin=72m.
本文标题:高中物理---小船渡河模型----典型例题(含答案)【经典】
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