高考数学一轮单元复习：第68讲 不等式的证明

│不等式的证明│知识梳理知识梳理1．比较法(1)：欲证a＞b，即证a－b＞0.(2)：若a，b∈R＋，欲证a＞b，即证ab＞1.2．综合法和分析法(1)从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种方法叫做，又叫顺推证法或由因导果法．(2)证明命题时常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实作差比较法作商比较法综合法充分│知识梳理(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做。3．反证法和放缩法(1)先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做。(2)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法叫做。分析法矛盾反证法放大或缩小放缩法│知识梳理4．数学归纳法：设{Pn}是一个与自然数有关的命题，如果(1)证明起始命题成立；(2)假设Pn成立的前提下，推出也成立，那么可以断定，{Pn}对一切自然数成立．5．数学归纳法的步骤：(1)验证命题对于第一个自然数成立；(2)假设命题当n＝k，k≥n0，k∈N＋时成立，证明时命题也成立．则由(1)、(2)，对于一切自然数，命题成立．P1(P0)Pn＋1n＝n0n＝k＋1│要点探究要点探究►探究点1比较法例1设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.【思路】利用差值比较，通过因式分解判断差值符号．│要点探究【解答】证明：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，即3a3＋＋2b3≥3a2b＋2ab2.【点评】差值比较是证明不等式的首先方法，本题通过因式分解后分析符号，成功比较大小．学习中应该重视基础知识和基本技能．│要点探究变式题设a∈R，且a≠－2，比较22＋a与2－a的大小．【解答】22＋a－(2－a)＝a22＋a.当a－2且a≠0时，∵a22＋a0，∴22＋a2－a.当a＝0时，∵a22＋a＝0，∴22＋a＝2－a.当a－2时，∵a22＋a0，∴22＋a2－a.【思路】作差比较两个代数式的大小．│要点探究【点评】当作差的代数式含有字母无法判断符号时，对字母进行分类讨论．│要点探究例2已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.►探究点2综合法和分析法│要点探究【解答】原不等式等价于a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，等价于a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a＋1a2＋22a＋1a＋2，即a2＋1a2≥22a＋1a，上式等价于a2＋1a2≥12a2＋1a2＋2，即a2＋1a2≥2，由基本不等式a2＋1a2≥2显然成立，∴原不等式成立．│要点探究【点评】本题考查了不等式的证明中的分析法．对于不等式的证明，要求考生要熟练掌握不等式证明的几种基本方法——比较法、综合法、分析法．分析法是从结论出发寻找结论成立的充分条件，而综合法常常要观察不等式两边的变量和整体形式变化，应用基本不等式，或构造函数利用单调性等．在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结论，并且要注意运用多种方法进行一题多解.│要点探究变式题(1)设x是正数，求证：(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)≥8x3；(2)若x∈R，不等式1＋x1＋x21＋x3≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．【思路】利用综合法，借助基本不等式证明．│要点探究【解答】(1)∵x0，∴1＋x≥2x0,1＋x2≥2x0,1＋x3≥2xx0，三个同向正值不等式相乘得(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)≥8x3.(2)x∈R时原不等式仍然成立．证法1：由(1)知，x0时不等式成立；下面证明当x≤0时不等式成立：①当x＝0时，(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)＝1,8x3＝8×03＝0，∴(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)8x3成立．│要点探究②当－1x0时，－1x30，∴1＋x0,1＋x20,1＋x30，而8x30，∴(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)0，∴(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)8x3成立；③当x＝－1时，(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)＝0，而8x3＝－80，∴(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)8x3成立．④当x－1时，x30，∴1＋x0,1＋x20,1＋x30，∴(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)0，而8x30，│要点探究∴(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)8x3成立．综上可知对于任意x∈R，(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)≥8x3成立．证法2：由(1)知，x0时不等式成立；当x≤0时，∵左边＝(1＋x)2(1＋x2)x－122＋34≥0,而右边＝8x30，∴左边右边，即(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)8x3.综上可知对于任意x∈R，1＋x1＋x21＋x3≥8x3成立．│要点探究例3已知实数a、b、c满足a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0，，试证明a、b、c0.【思路】用反证法．►探究点3不等式的其他证明方法│要点探究【解答】假设a0，因为abc0，所以bc0.又由a＋b＋c0，则b＋c－a0，所以ab＋bc＋ca＝ab＋c＋bc0，这与题设矛盾．又若a＝0，这与abc0矛盾．综上可知，必有a0成立．同理可证b0，c0也成立．命题成立．【点评】反证法的实质是证明原命题的等价命题．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．根据所给不等式的特点，结合不等式的性质和不等式的有关定理，恰当地选取证明方法，是证明不等式的基本思路．在比较法、综合法证明无效时，可以考虑反证法、放缩法、换元法、或者构造二次函数法等方法证明．│要点探究│要点探究变式题求证：122＋132＋…＋1n2＜1.【思路】对不等式左边进行放缩，利用数列求和方法．放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明目的．常用方法：(1)舍去或添加一些项；(2)将分子或分母放大或缩小．│要点探究【解答】122＋132＋…＋1n2＜11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n－1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n＜1.│要点探究例4对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某学生证明过程如下：(1)当n＝1时，2＜2，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立．即k2＋k＜k＋1(k∈N＋)，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，命题成立．上述证法的错误在__________________________．►探究点4数学归纳法│要点探究【解答】在从n＝k推证n＝k＋1命题成立时，没有用归纳假设。【思路】结合数学归纳法的证明步骤判断．【点评】数学归纳法证明的关键是“一凑假设，二凑结论”．首先要根据题目的条件和问题的实际确定需要验证的第一初始值n0，而在第二步假设n＝k(k≥n0)时命题成立，一定要把这一假设作为已知条件，来推证n＝k＋1时命题成立．否则，则不是数学归纳法的证明．下面的变式训练体现了数学归纳法的证明方法．│规律总结规律总结证明不等式的常用方法是比较法、综合法和分析法，不等式的证明方法灵活多变，技巧性和综合性很强，在证一个不等式时，经常涉及两种或多种基本方法(如比较法、分析法、综合法)的综合，有时需要进行适当放缩或构造函数，有时还需利用反证法、数学归纳法等等，各种方法都有其特点，需要恰当地选择．