高考数学一轮复习-三角函数和平面向量的综合应用01课件

三角函数与平面向量的综合应用1．同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力．通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点．要点梳理忆一忆知识要点2．研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±Asinωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±Acosωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y＝sinx与y＝cosx的单调区间．忆一忆知识要点要点梳理3．解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1．三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式，再研究其性质．2．向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别．要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用．例1已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．三角函数式的化简求值问题(1)关键是将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式；(2)通过角的拆分将cos2x0与f(x0)联系起来，即可将问题解决．解(1)由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)，可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6.从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点．(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换．(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确．探究提高已知向量m＝(－1，cosωx＋3sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω0，且m⊥n，又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f32α＋π2＝2326，求sinα＋π4cos4π＋2α的值．变式训练1解(1)由题意得m·n＝0，所以，f(x)＝cosωx·(cosωx＋3sinωx)＝1＋cos2ωx2＋3sin2ωx2＝sin2ωx＋π6＋12.根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，又ω0，所以ω＝13.(2)由(1)知，f(x)＝sin23x＋π6＋12，所以f32α＋π2＝sinα＋π2＋12＝cosα＋12＝2326，解得cosα＝513.因为α是第一象限角，故sinα＝1213.所以，sinα＋π4cos4π＋2α＝sinα＋π4cos2α＝22cosα－sinα＝－13142.例2设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.(1)求B的大小；(2)求cosA＋sinC的取值范围．三角形中的三角恒等变换(1)利用正弦定理把边的比转化为对应角的正弦之比，即可得到角B的正弦；(2)首先利用A＋C＝5π6，将式子化成关于角A的函数式，然后利用“锐角三角形”确定角A的取值范围，根据三角函数的性质确定其取值范围．解(1)由a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝12，由△ABC为锐角三角形可得B＝π6.(2)由(1)可知A＋C＝π－B＝5π6，故C＝5π6－A.故cosA＋sinC＝cosA＋sin5π6－A＝cosA＋sinπ6＋A＝cosA＋12cosA＋32sinA＝32cosA＋32sinA＝332cosA＋12sinA＝3sinA＋π3，由△ABC为锐角三角形可得，0Cπ2，故05π6－Aπ2，解得π3A5π6，又0Aπ2，所以π3Aπ2.故2π3A＋π35π6，所以12sinA＋π332，所以323sinA＋π332，即cosA＋sinC的取值范围为32，32.本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围．探究提高设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值；(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．变式训练2解(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝223，又0Aπ，故sinA＝1－cos2A＝13.(2)原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－cos2A＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A＝222sinA＋22cosA22sinA－22cosA2sin2A＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.