高考数学一轮复习第四章第讲同角三角函数的基本关系与诱导公式配套课件理新人教A版

揭秘3年高考第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式揭秘3年高考考点梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_____________＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝_______.sin2α＋cos2αtanα揭秘3年高考2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与α角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称揭秘3年高考角π－απ2－απ2＋α图示与α角终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称揭秘3年高考3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋απ2－απ2＋α正弦sinα______________________________－sinαsinα－sinαcosαcosα揭秘3年高考余弦cosα___________________________－sinα正切tanα______________tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限cosα－cosα－cosαsinα－tanα－tanα揭秘3年高考【助学·微博】两个理解(1)三角函数诱导公式kπ2＋α(k∈Z)的本质是：奇变偶不变，符号看象限．(2)对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当k为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角或小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k＋α(k∈Z)为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)是正还是负，也就是公式右边的符号．揭秘3年高考考点自测1．计算sin23π6等于________．解析sin23π6＝sin4π－π6＝sin－π6＝－sinπ6＝－12.答案－12揭秘3年高考2．(2012·扬州期末考试)已知sinα＝13，且α∈π2，π，则tanα＝________.解析因为sinα＝13，α∈π2，π，所以cosα＝－1－19＝－223，从而tanα＝－24.答案－24揭秘3年高考3．(2012·淮阴中学)已知sin(2π－α)－2cos(2013π＋α)＝0，则cosα＝________.解析由已知得－sinα－2cos(π＋α)＝0，即－sinα＋2cosα＝0，所以tanα＝2，cosα＝±55.答案±55揭秘3年高考4．(2012·南京外国语调研)已知α∈－π2，0，sinα＝－35，则cos(π－α)＝________.解析因为α∈－π2，0，sinα＝－35，所以cosα＝45，cos(π－α)＝－cosα＝－45.答案－45揭秘3年高考5．已知α∈π2，π，tanα＋π4＝17，那么sinα＋cosα的值为________．解析由α∈π2，π，得α＋π4∈3π4，5π4，∵tanα＋π4＝17，∴α＋π4∈π，54π，sinα＋π4＝－tan2α＋π41＋tan2α＋π4＝－150，所以sinα＋cosα＝2sinα＋π4＝2·－150＝－15.答案－15揭秘3年高考考向一同角三角函数的基本关系式的应用【例1】已知α∈0，π2，sinα－cosα＝15.(1)求sinα＋cosα的值；(2)求2sin2α＋sin2α1－tanα的值．解(1)因为sinα－cosα＝15，所以(sinα－cosα)2＝125，即1－2sinαcosα＝125，2sinαcosα＝2425.揭秘3年高考所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝4925.又α∈0，π2，所以sinα＋cosα＝75.(2)原式＝2sin2α＋2sinαcosα1－sinαcosα＝2sinαcosαsinα＋cosαcosα－sinα＝2425×75－15＝－16825.[方法总结]知道sinα±cosα值，可得sinαcosα的值，反之，知道sinαcosα的值，也可得sinα±cosα的值．揭秘3年高考【训练1】已知α∈π4，π2，sinα·cosα＝18.(1)求cosα－sinα的值；(2)求sinπ2－αsinα＋π·tanα－πcos3π－α的值．解(1)由(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝34，得cosα－sinα＝±32，又α∈π4，π2，所以cosα－sinα＝－32.揭秘3年高考(2)原式＝cosα－sinα·tanα－cosα＝1cosα.又由cosα－sinα＝－32，sinαcosα＝18，解得cosα＝5－34，故原式＝45－3＝2(5＋3)．揭秘3年高考考向二三角函数的诱导公式的应用【例2】(1)化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．(2)已知α是第三象限角，且f(α)＝tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πtan－π－α.①化简f(α)；②若cosα－3π2＝15，求f(α)的值．揭秘3年高考解(1)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α＝sin－α·cos－π－αsinπ＋α·cosα＝－sinα－cosα－sinα·cosα＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－α·cosαsinα·cosπ＋α＝sinα·cosαsinα－cosα＝－1.综上，原式＝－1.揭秘3年高考(2)①f(α)＝tanπ－αcos2π－αsin－α＋3π2cos－α－πtan－π－α＝－tanαcosα－cosα－cosα－tanα＝cosα.②∵cosα－3π2＝15，∴－sinα＝15，∴sinα＝－15，又α是第三象限角，∴cosα＝－265.∴f(α)＝cosα＝－265.揭秘3年高考[方法总结]利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．揭秘3年高考【训练2】(1)化简tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α；(2)(2012·惠州模拟)已知f(x)＝sinπ－xcos2π－xtan－x＋πcos－π2＋x，求f－31π3的值．解(1)原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.揭秘3年高考(2)∵f(x)＝sinx·cosx·－tanxsinx＝－cosx·tanx＝－sinx，∴f－31π3＝－sin－31π3＝sin31π3＝sin10π＋π3＝sinπ3＝32.揭秘3年高考(2)已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.考向三三角恒等式的证明【例3】(1)求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ1＋1tanθ＝1sinθ＋1cosθ.揭秘3年高考证明(1)左边＝sinθ1＋sinθcosθ＋cosθ1＋cosθsinθ＝sinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＋cos2θsinθ＝sinθ＋cos2θsinθ＋cosθ＋sin2θcosθ＝sin2θ＋cos2θsinθ＋cos2θ＋sin2θcosθ＝1sinθ＋1cosθ＝右边．∴原式得证．揭秘3年高考(2)∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴α＝2kπ＋π2－β，∴tan(2α＋β)＋tanβ＝tan22kπ＋π2－β＋β＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴tan(2α＋β)＋tanβ＝0得证．揭秘3年高考[方法总结]证明三角恒等式离不开三角函数的变换，在变换过程中，常把正切函数化成正弦或余弦函数来减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识．揭秘3年高考【训练3】证明下列恒等式：(1)1＋2sin360°＋xcos360°＋xcos2360°＋x－sin2360°＋x＝1＋tanx1－tanx；(2)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α＝－tanα.证明(1)左边＝cos2x＋sin2x＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝cosx＋sinx2cosx＋sinxcosx－sinx＝cosx＋sinxcosx－sinx＝1＋tanx1－tanx＝右边．∴原式得证．揭秘3年高考(2)左边＝－tanαsin－αcos－αcosπ－αsinπ－а＝－tanα－sinαcosα－cosαsinα＝－tanα＝右边．∴原式得证．揭秘3年高考关于同角三角函数的基本关系，高考可能会考一道填空题，也可能和三角恒等变形进行综合考查．解这类问题确定取值符号是关键，求值可以用公式或构造直角三角形求解．热点突破11同角三角函数关系的转化策略揭秘3年高考一、构造恒等式求解【示例】(2012·辽宁改编)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝________.[审题与转化]第一步：可由已知求出sinα，cosα值．注意α∈(0，π)，由22－－22＝2可直接求得tanα的值．[规范解答]第二步：由α∈(0，π)，得sinα0，于是22－－22＝2，得sinα＝22，cosα＝－22，所以tanα＝－1.揭秘3年高考[反思与回顾]第三步：此题可列方程组求解或由2sinα－π4＝2求解，但都没有构造数量关系的恒等式求解方便．揭秘3年高考二、构造直角三角形求解【示例】(2010·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限角，tanα＝－12，则cosα＝________.[审题与转化]第一步：用公式求解，要将tanα＝－12转化为2sinα＝－cosα，两边平方求解．第二步：构造直角三角形求解，取正值，将α当作直角三角形一锐角，求出cosα的正值，利用α所在象限确定符号．揭秘3年高考[规范解答]第三步：将α当作锐角，构造Rt△ABC，如图，则AB＝5，所以cosα＝25＝255，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－255.[反思与回顾]第四步：若已知tanα＝－12，求sinα＋cosαsinα－cosα或sin2α＋2sinαcosα的值，可将待求式转化为tanα＋1tanα－1或tan2α＋2tanαtan2α＋1求解．揭秘3年高考高考经典题组训练1．(2011·大纲全国卷)已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________.解析由α∈π2，π，sinα＝55，得cosα＝－1－sin2α＝－255，tanα＝－12，tan2α＝2×－121－－122＝－43.答案－43揭秘3年高考2．(2011·重庆