高考数学一轮总复习 第二篇 第6讲 幂函数与二次函数课件 理 湘教版

第6讲幂函数与二次函数【2014年高考会这样考】1．求二次函数的解析式、值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.考点梳理一般地，当x为自变量而α为非0实数时，函数_________叫作(α次的)幂函数．(1)幂函数在___________上都有定义；1．幂函数的概念y＝xα2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝x12、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(0，＋∞)(2)幂函数的图象都过点______；(3)当α0时，幂函数的图象都过点_____与_____，且在(0，＋∞)上是单调_____；(4)当α0时，幂函数的图象都不过点_____在(0，＋∞)上是单调______．(1)幂函数的图象比较3．五种幂函数的比较(1,1)(0,0)(1,1)递增(0,0)递减(2)幂函数的性质比较y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR________{x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇________奇函数性质y＝x12[0，＋∞)非奇非偶单调性单调递增x∈[0，＋∞)时，单调递增x∈(－∞，0]时，单调递减单调递增单调递增x∈(0，＋∞)时，单调递减x∈(－∞，0)时，单调递减定点_____________(1,1)(0,0)，(1,1)4.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a在x∈－∞，－b2a上单调递减在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈_____________上单调递增在x∈－b2a，＋∞上单调递减－∞，－b2a奇偶性当______时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点____________________对称性图象关于直线____________成轴对称图形－b2a，4ac－b24ab＝0x＝－b2a两种方法函数y＝f(x)对称轴的判断方法(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋x22对称．【助学·微博】两个条件三种形式二次函数表达式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))；(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标)．(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.答案B考点自测1.(湘教版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()．A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－12A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2答案B2．(2011·浙江)设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x0，若f(α)＝4，则实数α等于()．解析由α≤0，－α＝4或α0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.3．设abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()．答案D解析由A，C，D的图象知f(0)＝c0.又abc0，∴ab0，∴对称轴x＝－b2a0，知，A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c0，∴ab0，∴对称轴x＝－b2a0，∴B错误．4．(2012·湖北)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()．A.2π5B.43C.32D.π2答案B解析观察函数图象可知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(0,1)，故可设f(x)＝ax2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入可得a＝－1，所以f(x)＝－x2＋1，所以S＝1－1(1－x2)dx＝x－x331－1＝43.5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．答案9解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋14a2＝x＋12a2.又∵f(x)c的解集为(m，m＋6)，∴m＋m＋6＝－a，∴m＝－12a－3，∴c＝f(m)＝－12a－32＋a·－12a－3＋14a2＝9.【例1】►若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；考向一求二次函数的解析式(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．[审题视点]对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．即2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1b＝－1.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数．解法一设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意知最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8，∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－4x－122＋8.∴函数的解析式是f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即－9a＋44＝8，解之，得a＝－4.∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．[审题视点]对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．考向二二次函数的图象与性质【例2】►已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]，x2－2x＋3，x∈[－6，0]，(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解．解由已知可得，函数y的对称轴为x＝a.①当a0时，ymin＝f(0)＝－1.ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a.所以函数的值域为[－1,3－4a]．②当0≤a≤1时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(2)＝3－4a，所以函数的值域为[－(a2＋1)，3－4a]．③当1a≤2时，ymin＝f(a)＝－(a2＋1)，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[－(a2＋1)，－1]．④当a2时，ymin＝f(2)＝3－4a，ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]．【训练2】求函数y＝x2－2ax－1在x∈[0,2]时的值域．[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－30，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.考向三幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．∵函数y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0，或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得a－1或23a32.故a的取值范围为aa－1或23a32.本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时，①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．【训练3】已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点2，14.解(1)设f(x)＝xa，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)a，解得α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，∵其图象过点2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g(x)＝x－2.(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示．由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)．∴①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．【命题研究】通过对近三年高考试题的统计可以看出，本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的