高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解

高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)0，则f(x)＝0在[a，b]内()A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[答案]D[解析]∵函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，又f(a)，f(b)异号．∴f(x)在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.2．(2010·北京文)给定函数①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]B[解析]易知y＝x12在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y＝log12(x＋1)的图象是由y＝log12x的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝log12x相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．(2010·济南市模拟)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则()A．y3y2y1B．y1y2y3C．y2y3y1D．y1y3y2[答案]B[解析]∵y＝0.5x为减函数，∴0.5130.514，∵y＝x13在第一象限内是增函数，∴0.4130.513，∴y1y2y3，故选B.4．(2010·广州市)已知函数a－2x－1x≤1logaxx1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．(1,2)B．(2,3)C．(2,3]D．(2，＋∞)[答案]C[解析]∵f(x)在R上单调增，∴a1a－20a－2×1－1≤loga1，∴2a≤3，故选C.5．(文)(2010·山东济宁)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．a≥0B．a≤0C．a≥－4D．a≤－4[答案]D[解析]∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f′(x)＝2x＋2＋ax＝2x2＋2x＋ax≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立，∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4.(理)已知函数y＝tanωx在()－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是()A．0ω≤1B．－1≤ω0C．ω≥1D．ω≤－1[答案]B[解析]∵tanωx在()－π2，π2上是减函数，∴ω0.当－π2xπ2时，有－π2≤πω2ωx－πω2≤π2，∴π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω0，∴－1≤ω0.6．(2010·天津文)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c[答案]D[解析]∵1log54log530，∴log53(log53)20，而log451，∴cab.7．若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x－2a和x2a时，f′(x)0，f(x)单调增，当－2ax2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．8．(文)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(13)＝0，则适合不等式f(log127x)0的x的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(0，13)C．(0，＋∞)D．(0，13)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(13)＝0，则由f(log127x)0，得|log127x|13，即log127x13或log127x－13.选D.(理)(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．acbC．bcaD．cba[答案]D[解析]∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)f(2)f(2)，即abc.9．(2009·天津高考)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x＜0.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]∵x≥0时，f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4单调递增，且f(x)≥0；当x0时，f(x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4单调递增，且f(x)0，∴f(x)在R上单调递增，由f(2－a2)f(a)得2－a2a，∴－2a1.10．(2010·泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x0时，f(x)0，则函数f(x)在[a，b]上有()A．最小值f(a)B．最大值f(b)C．最小值f(b)D．最大值fa＋b2[答案]C[解析]令x＝y＝0得，f(0)＝0，令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．对任意x1，x2∈R且x1x2，，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[a，b]上最小值为f(b)．二、填空题11．(2010·重庆中学)已知函数f(x)＝ax＋bx－4(a，b为常数)，f(lg2)＝0，则f(lg12)＝________.[答案]－8[解析]令φ(x)＝ax＋bx，则φ(x)为奇函数，f(x)＝φ(x)－4，∵f(lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，∴f(lg12)＝f(－lg2)＝φ(－lg2)－4＝－φ(lg2)－4＝－8.12．偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(x)在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k＝________.[答案]3[解析]∵偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因此，若k≤0，则k－(－2)＝k＋23，若k0，∵f(x)在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f(0)，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k－0＝3，即k＝3.13．函数f(x)＝ax－1x＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a的取值范围是________．[答案]()－∞，－13[解析]∵f(x)＝a－3a＋1x＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a＋10，∴a－13.14．(2010·江苏无锡市调研)设a(0a1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f()12＝0，f(logat)0，则t的取值范围是______．[答案](1，1a)∪(0，a)[解析]f(logat)0，即f(logat)f()12，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴logat12，∵0a1，∴0ta.又f(x)为奇函数，∴f()－12＝－f()12＝0，∴f(logat)0又可化为f(logat)f()－12，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴0logat－12，∵0a1，∴1t1a，综上知，0ta或1t1a.三、解答题15．(2010·北京市东城区)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值集合．[解析](1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则x＋101－x0，解得－1x1.故所求定义域为{x|－1x1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}内是增函数，所以f(x)0⇔x＋11－x1.解得0x1.所以使f(x)0的x的取值集合是{x|0x1}．16．(2010·北京东城区)已知函数f(x)＝loga1－mxx－1是奇函数(a0，a≠1)．(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若当x∈(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求实数a的值．[解析](1)依题意，f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，即loga1－mxx－1＋loga1＋mx－x－1＝0，∴1－mxx－1·1＋mx－x－1＝1，∴(1－m2)x2＝0恒成立，∴1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1(不合题意，舍去)当m＝－1时，由1＋xx－10得，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f(x)的定义域，又有f(－x)＝－f(x)，∴m＝－1是符合题意的解．(2)∵f(x)＝loga1＋xx－1，∴f′(x)＝x－1x＋11＋xx－1′logae＝x－1x＋1·x－1－x＋1x－12logae＝2logae1－x2①若a1，则logae0当x∈(1，＋∞)时，1－x20，∴f′(x)0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，即(1，＋∞)是f(x)的单调递减区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递减区间．②若0a1，则logae0当x∈(1，＋∞)时，1－x20，∴f′(x)0，∴(1，＋∞)是f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递增区间．(3)令t＝1＋xx－1＝1＋2x－1，则t为x的减函数∵x∈(1，a－2)，∴t∈1＋2a－3，＋∞且a3，要使f(x)的值域为(1，＋∞)，需loga1＋2a－3＝1，解得a＝2＋3.17．(2010·山东文)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．[解析](1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝x2＋x－2x2，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，g(x)0，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)单调递增；②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(1a－1)]，(ⅰ)当a＝12时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0a12时，1a－110，x∈(0,1)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)单调递减；x∈(1，1a－1)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)单调递增；x∈(1a－1，＋∞)时