2015年高考数学中的分布列问题

2015年高考数学中的分布列问题摘要：离散型随机变量的所有可能取值为有限个或可列无限多个，分布列反映了离散型随机变量的所有可能取值及取相应值的概率，全面描述了离散型随机变量取值的概率规律。随机变量的数学期望反映了随机变量取值的平均程度。该文通过对2015年高考数学中的分布列问题进行归纳整理，发现其背景材料主要来源于生活，如比赛问题、密码问题、产品检测问题、生产利润问题、行车时间问题和粽子问题都与我们的生活息息相关，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的数学应用意识。关键词：离散型随机变量；分布列；数学期望1引言离散型随机变量的分布列反映了离散型随机变量所有可能的取值及取相应值的概率，全面描述了随机变量的统计规律1，是求解随机变量的期望和方差的“桥梁”，是新课程高考数学必考的内容.离散型随机变量的概率分布与均值是近几年新增的内容，很多省市无论是文科试卷还是理科试卷都对这一内容进行了考查，试题也由原来的“独立”型转向综合型、交汇型,试题新颖别致的设计使这一内容成了高考试卷上一道亮丽的风景线.学生不仅要学习数学知识,更应该重视数学能力的培养与训练,在知识的交汇处命题,考查学生知识横向联系能力,是培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径,是新课改的基本要求，离散型随机变量问题与其它数学知识的广泛结合，产生出新颖别致的问题,使人耳目一新.近几年高考数学对概率与统计的考查，往往侧重于分布列及期望，偶尔也会涉及方差，各个省市的理科高考数学试卷中，对分布列、期望与方差考查一般都以解答题的形式出现，题目包装新颖，难度适中，约占总分值的8%至11%.高中数学对分布列的要求是在必修课程学习的基本概率性质、古典概型和几何概型等知识的基础上，学习某些离散型随机变量及其分布列、均值和方差等，初步学会利用随机变量描述和分析随机变量的方法，进一步体会概率模型的作用，能够利用所学知识解决一些简单的实际问题，初步形成利用随机变量观察和分析随机现象的意识,解决实际应用问题时,关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求离散型随机变量的分布列关键是求随机变量所有可能取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、排列组合及概率模型的应用,然而，在高考数学中分布列问题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识,虽然属于中等难度题，但学生容易失分，对于离散型随机变量问题,各地高考多以考查概率分布的基本概念,三种典型概率分布包括0—1分布、二项分布、超几何分布的基本应用为主,背景和解法都比较常规,有的问题单纯考查一种概率公布,有的问题会考查两种以上概率分布的综合,有的问题考查的概率分布的形式比较模糊,不能直接套用哪一种现成的概率分布解决问题,有的问题甚至会与立体几何、数列、统计等知识结合.离散型随机变量的分布列问题看似变化大,花样多,但只要考生在解题时认真审题,仔细分辨概型和概率分布的类型,还是能够顺利地解决问题,获得高分的.2文献综述2.1国内外研究现状近几年分布列问题得到了广泛的关注，现查阅到的文献[1-15]中，张媚娟在文[1]中利用分类讨论的思想解答概率分布列问题；黄章龙在文[2]中将高考中随机变量的分布列分为三类，第一类是离散型随机变量的分布列，第二类是两点分布，第三类是超何分布；岳建良在文[3]中精选了有关分布列的经典例题，对此进行了细致的分析归纳，使学生在对待“综合与创新”的问题时，以狠抓恒定不变的东西，紧紧跟上综合与创新的步伐与基调，强化内功，适应变化为对策；耿元春在文[4]中提出在进行离散型随机变量的分布列教学时，除了要让学生掌握分布列的算法外，还应随时联系实际问题，让学生掌握该知识在现实生活中的应用才是最重要的；祝金强在文[5]中研究了分布列的题型及解法，离散型随机变量的分布列应用极其广泛，问题的形式多种多样，对题型及解法进行总结，更利于学生很好的掌握相应的知识点；童其林在文[6]中以背景材料分类对分布列问题详细阐述并加以分析，引导学生面对一道构思巧妙的概率问题时，只要通过对事件分析，从“双基”角度，明确问题实质，将其纳入概率题型，“对号入座”求解，则再新的概率问题也能降低难度，从而获得求解；王凤波在文[7]总结了求分布列的方法，让读者更容易求解分布列问题；卢江在文[8]中归纳了求解离散型随机变量分布列的三种思维方式，对培养学生解分布列问题的能力很重要；李书平在文[9]中对如何求解分布列的问题进行探讨，让学习者更容易求解分布列的问题；张顺在文[10]中分析了随机变量及其分布列的重难点、高考热点，精选了典型例题进行讲解；王晓光在文[11]中讨论了分布列的几种应用，可以帮助学生进一步巩固和掌握分布列的应用；王丹丹在文[12]中分析了离散型随机变量分布列的性质在解题中的应用；胡彬在文[13]中介绍了求解离散型随机变量分布列的三个步骤，可以巧妙处理分布列问题；陈义在文[14]中对几种离散型随机变量的分布列从概念、性质、题型几个方面进行归纳小结；杨凤丽在文[15]中对往年高考随机变量及其分布列的考情进行分析，指出了分布列问题在高考中的重要性.2.2国内外研究现状评价上述文献[1-15]分别对离散型随机变量分布列的应用、解法、材料背景及解题策略做了形象的论述，文献中阐述了分布列问题的多种分类方法，有的文献给出的分类方法理论较多，太过抽象，有的文献选择的例子比较多，注重解题策略，理论较少.2.3提出问题2015年高考数学中的分布列问题，与实际生活紧密联系，有很大的灵活性，分值占试卷分值的8%至11%，本文对2015年高考数学中的分布列问题进行归纳整理，把2015年高考数学中的分布列问题分为六类，分别为比赛问题、密码问题、产品检测问题、生产利润问题、行车时间问题、粽子问题，并分别对这六类问题的解法及解题策略做了一定的阐述.3体现在2015年高考数学中的分布列问题3.1比赛问题在高考数学中，试题由选择题、填空题和解答题构成，涉及到的知识点比较广泛.离散型随机变量的分布列是高中数学的重要内容，分布列的计算是高中数学必修3中概率计算的延伸.纵观2015年高考数学试卷，天津理科试卷第16题以乒乓球比赛为背景，四川理科试卷第17题以辩论赛为背景，考查了分布列问题.例1(2015年天津卷,理16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.解：(1)由已知，有.356)(4823232322CCCCCAP所以事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.)4,3,2,1()(48435kCCCkXPkk所以随机变量X的分布列为故随机变量X的数学期望为13315()1234477142EX.例2（2015年四川卷，理17,)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望.解：(1）由题意，参加集训的男、女生各有6名,参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为333433661.100CCCC因此，A中学至少1名学生入选的概率为1991.100100（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3，有，51)1(463313CCCXPX1234P1143737114，53)2(462323CCCXP.51)3(461333CCCXP所以X的分布列为X123P153515故随机变量X的数学期望为.2533532511XE3.2密码问题离散型随机变量是一种基本的、重要的随机变量，它的所有可能取值是有限个或可列无限个2.解答离散型随机变量的分布列及相关问题首先要明确随机变量可能取哪些值，然后结合事件的特点，选取恰当的计算方法，计算这些可能取值对应的概率值，最后根据问题的要求求解.2015年福建理科试卷第16题以银行卡密码为背景，主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识.例3（2015年福建卷，理16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．解:(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则5431().6542PA(2)依题意得,X所有可能的取值是1，2，3，有,)(611XP,)(6151652XP.)(32154653XP所以X的分布列为X123P161623故X的数学期望为1125()1236632EX.3.3产品检测问题高考数学中的分布列问题出现在填空题、选择题与解答题中，且近三年，又以解答题居多.2015年安徽理科试卷第17题以产品的抽样检测为背景，考查古典概率的计算，随机变量的分布列和均值，解决古典概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常常要用到计数原理及排列、组合的相关知识.例4（2015年安徽卷，理17)已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,有.103)(251312AAAAP（2）由条件知,X的所有的可能取值为200,300,400,有,101)200(2522AAXP,103)300(3522131233AACCAXP.)()()(10610310113002001400XPXPXP所以X的分布列为X200300400P110310610故X的数学期望为136()200300400350101010EX.3.4生产利润问题在分布列问题的命题中，体现了文、理科内容上的不同和要求上的不同.文科试卷集中在古典概型、互斥事件的概率，理科考查的重点集中在离散型随机的分布列、期望和方差3.2015年湖北理科试卷第20题以牛奶生产为背景，考查随机变量的分布列、均值和生产利润.例5（2015年湖北卷，理20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产BA,两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天B