最小二乘法介绍

最小二乘法在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值——实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式.一、经验公式问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？二、最小二乘法例1为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：顺序编号i01234567时间it(小时)01234567刀具厚度iy(毫米)27.026.826.526.326.125.725.324.3试根据上面的试验数据建立y和t之间的经验公式)(tfy.观察可以认为)(tfy是线性函数,并设,)(battf其中a和b是待定常数.tyo1247356824252627如图，在坐标纸上画出这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的，使得在处的函数值与实验数据相差都很小．ba,battf)(710,,,ttt710,,yyy解首先确定)(tf的类型.就是要使偏差)7,,2,1,0()(itfyii都很小.因此可以考虑选取常数，使得ba,702)(iiibatyM定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做最小二乘法．ba,这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小．M把看成自变量和的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数在那些点处取得最小值.),(baMM7070;0)(2,0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令即7070.0)(,0)(iiiiiiibatytbaty将括号内各项进行整理合并，并把未知数和分离出来，便得ab)1(.8,70707070702iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得,2870iit,140702iit,5.20870iiy0.71770iiity代入方程组（1）得.5.208828,71728140baba解此方程组，得到.125.27,3036.0ba这样便得到所求经验公式为)2(.125.273036.0)(ttfy由（2）式算出的函数值与实测的有一定的偏差.现列表比较如下：)(itfiyit01234567实测iy27.026.826.526.326.125.725.324.3算得)(itf27.12526.82126.51826.21425.91125.60725.30325.000偏差-0.125-0.021-0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和，它的平方根．108165.0M329.0M我们把称为均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏．M例2在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：iiiy其中表示从实验开始算起的时间，表示时刻反应物的量．试定出经验公式y).(fy解)(fy由化学反应速度的理论知道，应是指数函数：,mkey其中和是待定常数.km12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5由于所以仿照例1中的讨论,通过求方程组)3(lg8,lg81818181812iiiiiiiiiiiybayba的解,把确定出来.ba,,lgbay讨论：通过计算得,10881ii,1836812ii,3.10lg81iiy.122lg81iiiy将他们代入方程组（3）得.3.108108,1221081836baba解这方程组，得.8964.1lg,045.04343.0kbma.78.78,1036.0km因此所求经验公式为.78.781036.0ey三、小结用的一种．，其中最小二乘法是常作曲线拟合有多种方法，给定平面上一组点),,3,2,1(),(niyxii最小二乘法的原理：达到最小．，使求niiibatyMtf12)()(注意：计算机与数据拟合．（参看高等数学实验课讲义郭锡伯徐安农编）练习题:(%)0的数据如下表与，由实验测得为，其溶解温度为比某种合金的含铅量百分pCp．之间的经验公式与试用最小二乘法建立bapp%pC09.367.467.631812351972922832708.770.845.87练习题答案.33.95234.2p