弯曲变形

弯曲变形§1梁变形的基本概念挠度和转角§2挠曲线近似微分方程§3积分法计算梁的变形§4叠加法计算梁的变形§5简单超静定梁梁的挠度，横截面的转角。度量梁变形的参数---二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。一、挠曲线：梁变形后的轴线。性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。用“y”表示。Cyx§1梁变形的基本概念挠度和转角Fy=y（x）……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。θ=θ(x)……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。四、挠度和转角的关系挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。用“y”表示。yxydxdytg)(ytgCyxF一、曲率与弯矩的关系：EIMr1二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)232)(1)(1yyxryx)(1r……（2）→→三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得yxEIM)()(xyMEI……（1）zEIxMx)()(1r§2挠曲线近似微分方程,1yM00)(xy挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Q”以及对变形的影响2)(y使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M00)(xy)(xMyEI结论：挠曲线近似微分方程——xy)(22xMdxydEIxy)()(xMxyEI1)()(CdxxMxyEI21)()(CxCdxdxxMxEIy§3积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。0Ay0By0Dy0D右左CC连续条件：右左CCyy边界条件：DPPABCF（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。EIFLLy3)(3例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）。解：a)建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLFxMb)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数)()(xLFxMyEI12)(21CxLFyEI213)(61CxCxLFEIyFx322161;21FLCFLCd)确定挠曲线、转角方程3236)(xLxEIFxyLxxEIFy222EIFLL2)(2e)自由端的挠度及转角x=0,y=0;θ=0yL222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIyCaxFxLFbwEIaxFxLFbyEI11)(xLFbxMFC解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：11131112111162DxCxLFbEIyCxLFbyEIxLFbyEI1xABab2xlba)()(222axFxLFbxMlFblFae)跨中点挠度及两端端截面的转角d)确定挠曲线和转角方程c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数x=0,y=0;x=L,y=0.x1=x2=a，y1=y2；y'1=y'20);(6212221DDLbLFbCC)(366222111222111bLxLEIFbybLxLEIFbxy)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbyxbLxaxbLLEIFby2222424);43(4822bLLEIFbybLEIFbyLLxxLEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(两端支座处的转角——讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。LEIbLFabxyA6)(00max111max1左侧段：右侧段：LEIaLFabLxyB6)(0max222max2LEIaLFabB6)(max3221max1221max)(39||3)2(301blLEIFbyyaxbaabLxyyxx最大挠度一定在左侧段FC1xABab2xlFblFa当a＞b时——当a＞b时——最大挠度发生在AC段2、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。EIFLyyEIFLLxCBA48||;163max2max2FCABabqLABxC解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM21431322)126(2)32(2)(2CxCxlxqEIyCxlxqyEIxlxqyEIx=0,y=0;x=L,y=0.)46(24)2(24323323xlxlEIqyxlxlEIqxy0,24231CqlCEIqlEIqlyBALx24||3845||3max42max例：求分布载荷简支的最大挠度和最大转角(EI=常数）FABlxeM22qxFxMMeqsFMFAqeMx梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。弯矩：弯矩的叠加原理----梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。321MMMM)(xMyEIii)()()(332211xMyEIxMyEIxMyEI§4叠加法计算梁的变形1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。)()()(),,,(221121nBnBBnBFFFFFF)()()(),,,(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。三、叠加法的特征：)(xMyEI321321)(MMMxMyyyy叠加法计算梁的变形aaF=+例：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度.解、a)载荷分解如图b)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。EIFaEIFLyCF64833EIFaEIFLAF41622EIqaEIqLyCq245384544EIqaEIqLAq32433aaqFACAaaqEIFaEIqayyyCqCFC624534AqAFA)43(122qaFEIac)叠加L/2L/2qACA=+例：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表EIqLEILqyyyyCaCbCaC7685384)2(50443、叠加0;384)2(54CbCayEILqyL/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)=+ABLaCqqaABLCM=qa/2（b）例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1)结构分解如图2)查梁的简单载荷变形表3)叠加BCq（a）EILqaaEILqaayEIqayCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqayyyBbBaB24)43(68334逐段刚化法max一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[y]称为许用挠度。、校核刚度：、设计截面尺寸；（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）yymax二、刚度计算、确定外载荷。§5梁的刚度计算由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I成反比；跨长——梁的位移与跨长L的n次幂成正比。（转角为L的2次幂，挠度为L的3次幂）1、增大梁的抗弯刚度（EI）2、调整跨长和改变结构方法——同提高梁的强度的措施相同三、提高梁的刚度的措施3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）注意：同类的材料，“E”值相差不多，“u”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！C§6简单超静定梁ABq2l2lCAB2l2lCABqARBRARBRCRCR.02,02qllRmBA,2,0qlRmAB由平衡方程可以解出全部未知数静定问题二个平衡方程，三个未知数。平衡方程数未知数。超静定问题.5.0qlRB平衡方程数=未知数。0cy去掉多余约束而成为形式上的静定结构—基本静定基。1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。CL/2ACAqL/2BRc分析——0CcRcqcyyy0)48(384534EIlREIqlCqLRC85ABq2l2lCBRABq解超静定的步骤——(静力、几何、物理条件)0By解：1)研究对象，AB梁，受力分析：C４)物理条件048384534EIlREIqlC,85qLRCABq2l2lCRABq例已知梁的EI，梁的长度，求各约束反力。３)变形协调方程２)选用静定基，去Ｃ支座ARBRCR0,0qlRRRYCBA05.05.0,02qllRlRMCBAqlRRRCBA,,,0CRCqCyyyEIlRyEIqlyCCRCqC48,384534联立求解：163qlRRBACABq2l2l165ql163ql25692ql画出剪力图、弯矩图。ARBRCR162qlAB163ql25692ql165ql莫尔定理xM为计算梁的弯曲变形的莫尔积分公式，亦称为莫尔定理。计算出的△值为正，变形△的方向与单位力或单位力偶的方向相同，反之则△的方向相反.ldxEIxMxM)()(单位力（求挠度）或单位力偶（求转角）产生的弯矩)(xM梁的弯矩例题:均布载荷作用下的悬臂梁，其EI为常数。试用莫尔定理计算梁端点A的挠度yA。221)(qxxMxxxM1)(解：为了计算悬臂梁A点的挠度，需要在A点作用一铅垂向下的单位集中力。计算悬臂梁的弯矩.和xMxM利用莫尔定理EIqldxxqxlEIdxxMxMl8))(21(4201EI)()(计算结果为正值，表明A端挠度与所加单位力的方向相同，即向下。EIqlyA84qABxl1ABxl图形互乘法cMEIMc为M(x)图的面积，为M0(x)图中与M(x)图的形心对应的纵坐标值。M0(x)图为单位力（求挠度）或单位力偶（求转角）产生的弯矩图。cM例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。解：IEMyCB012232EIPllPlEI33BEIPl1212PlEI22顺时针顶点顶点23lh13lh二次抛