函数高考复习：函数的奇偶性与周期性

函数奇偶性的判断22111lg2(1)11(0)1134.212(0)xxxfxfxxxxxxxfxfxxxx判断下列函数的奇偶性．＝；＝－；＝；＝【－例1】11011111()lglg()111lg11101112xxxfxxxfxxxxfxxxxx－由，得－，故的定义域关于原点对称．又－＝＝＝－＝－，故原函数是奇函数．由，得－，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非【解析】偶函数．2222(0)(0)000()000()()11211121212222134xxxxfxxfxxxxxfxxxfxxfxxxxxfxxxfxfxfxfxR的定义域为－，，＋，它关于原点对称．又当时，＝＋，则当时，－，故－＝－＝；当时，＝－，则当时，－，故－＝＋＝．故原函数是偶函数．因为的定义域为，且－＝－＝－＝－，故原函数是奇函数．在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算．如本题中(4)，判断f(x)＋f(－x)＝0是否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．2222111lg12|2|23lg(1)14211fxxxxfxxfxxxxxfxxx判断下列函数的奇偶性．＝＋；＝；【＝＋．＝变式练习】2{1,1}()1011|2|2()12fxfxxxxxfxfx因为定义域－关于原点对称，且－＝，所以原函数既是奇函数又是偶函数．【解析】由－，得－，则－－＝－，且－＝－，故原函数是奇函数．2221()lg(1)lg1lg(1)34fxxxxxxxfxfxR因为定义域为全体实数，且－＝－＝＝－＋＝－，故原函数是奇函数．因为定义域是，关于原点对称，作出函数的图象，可知是偶函数．函数奇偶性的应用22log(2)afxxxaa【若函数＝＋是奇函数，求实例】数2的值．22222222()0log(2)log(2)0log2021.20.200log20221.2aaaafxfxxxaxaxaaaafaaa由＋－＝，得＋＋－＝，即＝，所以＝因为，所以＝因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则＝定义法：，即＝，则＝，得性质【法：＝解析】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝．21lg12.2abaDaxfxDxR设，且，定义在上的函数＝是奇函数，求定【练习】义域变式222222211()0lglg012121lg01144.1422.1201211x.2211(-)22axaxfxfxxxaxaxxaxaaxDxD由＋－＝，得＋＝，即＝，所以－＝－，得＝又，所以＝－故函数的定义域由确定，解得-故原函数的定义域为【，解析】函数的周期性【例3】偶函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，求f(116.5)的值．【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6.又116.5＝19×6＋2.5，所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5.求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数值．【变式练习2】已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点，且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值．【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，则f(u)＝f(u＋3)，所以函数f(x)的周期为3.依题意，f(0)＝0，且2010＝670×3，所以f(2010)＝f(0)＝0.函数的奇偶性、周期性的综合(2)1(2)(2).124fxfxfxfxfxfxfxR已知是定义在上的函数，＋＝－－，＋＝－函数是不是周期函数，若是，求出其一个周期；判断【例】的奇偶性．1(4)[2(2)]24.(2)(2)22(4)(4)()(41)1(2)fxfxfxfxfxfxfxuxxufufufxfxxxfxfxfxfxfx是周期函数．因为＋＝＋＋＝－＝，故其一个周期为由＋＝－－，令＝－，则＝－，故＝－－，即＝－－．用－代，得－＝－＋．结合知，－＝－，所以函数是【解析】奇函数．在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x＝a(a0)，则一定是周期函数．因为图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(a－x)＝f(a＋x)成立，所以f(2a＋x)＝f[a＋(a＋x)]＝f[a－(a＋x)]＝f(－x)＝f(x)，所以周期为2a.【变式练习4】f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋3)＝f(3－x)．若x∈(0,3)时，其解析式为y＝x2＋1，求x∈(－6，－3)时，函数f(x)的解析式．【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以f(6＋x)＝f[3＋(3＋x)]＝f[3－(3＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋6)．当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)，所以f(x＋6)＝(x＋6)2＋1，则f(x)＝－x2－12x－37(x∈(－6，－3))．1.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_________【解析】由f(－1)＝f(1)，得0＝2(1－a)，所以a＝1.122112.11xxfxxx判断函数＝的奇偶性，是________函数．【解析】定义域是R，关于原点对称，且f(x)＋f(－x)＝0，故为奇函数．奇3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.04.已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋log2x，求函数f(x)的解析式．222200()2log()()2log()002log(0)0(0)2log()(0)xxxxxxfxxfxfxxfxxfxxxx－－－设，则－，所以－＝＋－，那么＝－－＝－－－．又＝，＋所【解析以＝－－－】5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．()000.00()()(3)()1226434(3)4.12fxfxyfxfyxyfxyyxffxfxfxfxfxfafxyfxfyfxffffaR证明：显然的定义域关于原点对称．在＋＝＋中，令＝＝，得＝令＋＝，即＝－，得＝＋－，即－＝－，故为上的奇函数．由－＝，＋＝＋，为奇函数得＝＝＝－－【＝－解析】1．函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系．2．判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法．3．奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点．4．如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称．5．函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律．值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期．注意以下几个常用结论：()(0)21()(0)21231()(0)14fxfxTfxTfxTfxfxTTfxfxTfxfxfxTTfxfxT若函数满足＋＝－，则是周期函数，且是它的一个周期．若函数满足＋＝，则是周期函数，且是它的一个周期．若函数满足＋＝，则为周期函数，且是它的一个周期．1．(2011·泰州市第一次联考卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)＋f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝________.【解析】由f(3)＋f(－2)＝2得－f(3)－f(－2)＝－2，由奇函数定义得f(2)－f(3)＝－2.答案：－2选题感悟：函数的奇偶性是函数的重要性质，要准确理解和熟练掌握函数奇偶性的定义．2．(2011·南京二模卷)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)－1的解集是________________．2222log(0)0(0),-log()(0)00,log1log()110221(2)(0)2xxfxxxxxxxxxx由题意知＝所以或解得或－，即所求解集为－，－析，【解】．1(2)(0)2－，－，答案：3．(2011·金陵中学期中卷)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)2，f(2)＝m，则m的取值范围为________．答案：(－2，＋∞)选题感悟：函数的性质是每年高考的热点，这类问题能全面考查考生对函数概念的理解及性质的代数推理、论证能力．