《高考调研》2015届高考数学总复习配套课件：选修4-1-1 相似三角形的判定及有关性质

课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研第1课时相似三角形的判定及有关性质选修4－1几何证明选讲课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2014•考纲下载理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研请注意！此部分多和圆的有关知识，结合考查.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．平行线等分线段定理如果一组在直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线另一腰．平行线一条平分平分课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成．3．相似三角形的判定判定定理1：两角对应，两三角形相似．判定定理2：两边对应且夹角，两三角形相似．判定定理3：三边对应，两三角形相似．对应比例相等成比例相等成比例课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研4．直角三角形相似的判定定理1：如果两个直角三角形有一个角对应相等，那么它们相似．定理2：如果两个直角三角形的两条边对应，那么它们相似．定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的和一条对应成比例，那么这两个直角三角形相似．锐直角成比例斜边直角边课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研5．相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于比；(2)相似三角形周长的比等于比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的；(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于比，外接圆的面积比等于相似比的．相似相似平方相似平方课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研6．直角三角形的射影定理和逆定理(1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例；两直角边分别是它们在斜边上与的比例中项．(2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的，那么这个三角形是直角三角形．中项射影斜边比例中项课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且ADDB＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．答案45解析∵ADDB＝2，∴ADAB＝23.故S△ADES△ABC＝49，∴S△ADES四边形DBCE＝45.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则BFFC＝________.答案12课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研解析过点E作BC的平行线交AC于点M，如右图，可知M为DC的中点，故EMBC＝12，EMFC＝34.∴FCBC＝23，BFFC＝12.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，已知AC＝4，AD＝2，则BD的长是________．答案6解析由直角三角形射影定理，得AC2＝AD·AB.∴AB＝AC2AD＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研4.如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为()A.154B．7C.152D.245答案C解析由已知条件∠AED＝∠B，∠A为公共角，所以△ADE∽△ACB，则有DEBC＝AEAB，从而BC＝6×108＝152.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研5.(2014·济南二模)如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，CD＝6，且AD∶BD＝3∶2，则斜边AB上的中线CE的长为________．答案562课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例1如图AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶1课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D是BC的中点，可过D作DG∥AC交BE于G，则DG＝12EC.又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶12EC＝4∶1.【答案】C课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究1本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．解题关键是通过作辅助线，发现其中的平行关系进行推理求解．另外，本题还可以过D点作BE的平行线进行推理求解．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题1如右图，已知M、N分别是▱ABCD的边AB、边CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F.请你探讨BE、EF、FD三条线段之间的关系，并给出证明．【思路】在△CDE中，N是边CD的中点，只要证明NF∥CE，即可由推论1得DF＝EF.同理可得BE＝EF，由此得出三者之间的关系．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是边AB、CD的中点，∴四边形AMCN是平行四边形．∵在△CDE中，N是CD的中点，且FN∥CE，∴F是DE的中点，即DF＝EF.同理在△ABF中，M是AB的中点，且AF∥MC，∴E是BF的中点，即EF＝BE.故BE＝EF＝DF.【答案】BE＝EF＝DF课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例2(1)如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.【思路】由于△ADE与△ABC有一公共顶点A，可根据“对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．”去证明．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【证明】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴ADAB＝AEAC，从而ADAE＝ABAC.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.【答案】略课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求S△BEFS四边形DEFC的值．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】过D点作DM∥AF交BC于点M，则BFBM＝BEBD＝13.∵EF∥DM，∴S△BEFS△BDM＝19，即S△BDM＝9S△BEF.∵D是AC的中点，DM∥AF，课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研∴FM＝MC，∴BMMC＝32.∴S△DMCS△BDM＝23，即S△DMC＝23S△BDM＝6S△BEF.∴S四边形DEFC＝14S△BEF，∴S△BEFS四边形DEFC＝114.【答案】114课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究2(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理．相似三角形的判定定理可能要同时用到，先证两个三角形相似，以此作铺垫，再证另两个三角形相似．(2)相似三角形性质的作用①可用来证明线段成比例、角相等；②可间接证明线段相等；③为计算线段长度及角的大小创造条件；④可计算周长、特征线段长等．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题2(1)△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个正方形的边长．【解析】如图，设正方形PQMN为加工成的正方形零件．△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xcm.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴AEAD＝PNBC，即8－x8＝x12，解得x＝4.8(cm)．答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm【答案】4.8cm课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)已知如右图，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为()A．1B.54C.32D.2课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°.∴∠AQP＝∠BPC.∴Rt△APQ∽Rt△PBC.∴APBC＝AQBP.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴AQ＝AP·BPBC＝1×34＝34.∴PQ＝AQ2＋AP2＝916＋1＝54.【答案】B课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例3(1)如图，已知在正方形ABCD中，O为AB的中点，E为AD上一点，且AE＝14AD，OK⊥EC.求证：OK2＝KE·KC.【思路】根据欲证式子的结构特征及题设，若能证得∠COE＝90°，则结论可证．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【证明】连接OE、OC.方法一：∵AE＝14AD，OA＝OB＝12AD，BC＝AB＝AD，∴AEOB＝OABC＝12.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研又∵∠A＝∠B＝90°，∴△EAO∽△OBC，∴∠AEO＝∠BOC.又∵∠AEO＋∠AOE＝90°，∴∠AOE＋∠BOC＝90°，∴∠EOC＝90°.在Rt△EOC中，∵OK⊥EC，∴OK2＝KE·KC(射影定理)．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研方法二：设AB＝BC＝4a，由题意，AE＝a，OA＝OB＝2a，ED＝3a.∴OE2＝a2＋(2a)2＝5a2，OC2＝OB2＋BC2＝(2a)2＋(4a)2＝20a2，EC2＝ED2＋CD2＝(3a)2＋(4a)2＝25a2.∴OE2＋OC2＝EC2.∴△EOC是直角三角形．又∵OK⊥EC，∴OK2＝KE·KC.【答案】略课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)如右图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H.求证：①DG2＝BG·CG；②BG·CG＝GF·GH.【证明】①DG为Rt△BCD斜边上的高，∴由射影定理，得DG2＝BG·CG.课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研②∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°.∵CE⊥AB，∴∠ABC＋∠ECB＝90°.∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB.∴∠H＝∠ECB.又∵∠HGB＝∠FGC＝90°，∴Rt△HBG∽Rt△CFG.∴BGGF＝GHGC，∴BG·CG＝GF·GH.【答案】略课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究3(1)应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高．(2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量．(3)利用直角三角形的射影定理可证明有关命题．课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题3如图AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC＝2，PA＝8，则CD的长为________，cos∠ACB＝________.【解析】由射影定理，得CD2＝CP·CA＝2×10.∴CD＝25.cos∠ACB＝sin∠A＝sin∠D＝CPCD＝225＝55.【答案】2555课前自助餐授人以渔课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择