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第9讲分式方程及应用考点一分式方程及解法1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程,即分式方程――→去分母转化整式方程.3.解分式方程的步骤①去分母,转化为整式方程;②解整式方程,得根;③验根.4.增根在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根.解分式方程时,有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根),因此解分式方程要验根(其方法是代入最简公分母中,使最简公分母为零的是增根,否则不是).考点二与增根有关的问题1.分式方程的增根必须同时满足两个条件(1)是由分式方程化成的整式方程的根;(2)使最简公分母为零.2.增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值.解答思路为:①将原方程化为整式方程;②确定增根;③将增根代入变形后的整式方程,求出参数的值.考点三列分式方程解应用题1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样.不同之处是列出的方程是分式方程.求出分式方程解后,一定要记住对所列方程和实际问题验根..,不要缺少了这一步.2.应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题.(包括日历中的数字规律)①设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是100a+10b+c;②日历中前后两日差1,上下两日差7.(2)体积变化问题.(3)打折销售问题.①利润=售价-成本;②利润率=利润成本×100%.(4)行程问题.(5)教育储蓄问题.①利息=本金×利率×期数;②本息和=本金+利息=本金×(1+利润×期数);③利息税=利息×利息税率;④贷款利息=贷款数额×利率×期数.(1)(2010·咸宁)分式方程xx-3=x+1x-1的解为()A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3(2)(2009中考变式题)若解分式方程mx+1x-1=-1时产生增根,则m的值是()A.0B.1C.-1D.±1【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x-3)(x-1),约去分母得x(x-1)=(x-3)(x+1),解得x=-3.经检验:x=-3是原方程的根.∴分式方程的解为x=-3.(2)题使分母为零的未知数的值即为增根,增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根.∵mx+1x-1=-1有增根,∴x-1=0,∴x=1,∴mx+1=-x+1.当x=1时,解得m=-1.【解答】(1)D(2)C(1)(2010·眉山)解方程:xx+1+1=2x+1x;(2)(2010·上海)解方程:xx-1-2x-2x-1=0.【点拨】本组题考查分式方程的解法,一般步骤为:①去分母,转化为整式方程;②解整式方程,得根;③验根.这三步缺一不可.【解答】(1)方程两边同时乘以x(x+1),约去分母,得x2+x(x+1)=(2x+1)(x+1).解得x=-12.经检验,x=-12是原方程的根.所以,原方程的解为x=-12.(2)方程两边同时乘以x(x-1),约去分母,得x2-(2x-2)(x-1)-x(x-1)=0解得x=12或x=2.经检验,x=12或x=2都是原方程的根.所以原方程的解为x=12或x=2.(2010·重庆)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?(2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?【点拨】列分式方程解决实际问题,要特别注意解的合理性,需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意.【解答】(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程,由题意,得20(1x+1x+30)=1.整理,得x2-10x-600=0.解得x1=30,x2=-20.经检验,x1=30,x2=-20都是分式方程的解,但x2=-20不符合题意,舍去.当x=30时,x+30=60.答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天.(2)合作(20-a3)天(3)由题意,得1×a+(1+2.5)(20-a3)≤64.解得a≥36.即甲工程队至少单独施工36天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.1.方程x-2x-4=xx-6的解是(C)A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.关于x的方程2x+ax-1=1的解是正数,则a的取值范围是a-1.3.解方程:2x-1=3x+1.x=54.解方程:32x-4-xx-2=12.x=535.为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现在甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况,获得如下信息:信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?甲工厂每天加工40件产品,乙工厂每天加工60件产品考点训练9分式方程及应用训练时间:60分钟分值:100分考点训练9分式方程及应用训练时间:60分钟分值:100分分式方程及应用训练时间:60分钟分值:100分一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2010·重庆)方程3x+2=1x+1的解为()A.x=45B.x=-12C.x=-2D.无解【解析】3x+2=1x+1,3(x+1)=x+2,3x+3=x+2,2x=-1,x=-12,经检验x=-12是原方程的根.【答案】B2.(2009中考变式题)以下是方程1x-1-x2x=1去分母后的结果,其中正确的是()A.2-1-x=1B.2-1+x=1C.2-1+x=2xD.2-1-x=2x【解析】等号两边同乘以2x,去分母后为2-1+x=2x.【答案】C3.(2011中考预测题)已知方程xx-5=3-ax-5有增根,则a的值为()A.5B.-5C.6D.4【解析】原式去分母后得x=3(x-5)-a,把增根x=5代入得a=-5.【答案】B4.(2009中考变式题)解方程84-x2=22-x的结果是()A.x=-2B.x=2C.x=4D.无解【解析】84-x2=22-x,8=2(2+x),8=4+2x,x=2当x=2时,4-x2=0,∴x=2是原方程的增根,∴原方程无解.【答案】D5.(2010·益阳)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是()A.25x=35x-20B.25x-20=35xC.25x=35x+20D.25x+20=35x【解析】由题意知小车的速度为(x+20)千米/时,根据货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同,得25x=35x+20.【答案】C6.(2009中考变式题)某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套.在这个问题中,设计划每天加工x套,则根据题意可得方程为()A.160x+4001+20%x=18B.160x+400-1601+20%x=18C.160x+40020%x=18D.400x+400-16020%x=18【解析】采用新技术后的工作效率为(1+20%)x,前160套所用时间为160x,后来的(400-160)套,所用时间为400-1601+20%x,可列方程为160x+400-1601+20%x=18.【答案】B7.(2011中考预测题)用换元法解方程x2-2x+7x2-2x=8,若设x2-2x=y,则原方程化为关于y的整式方程是()A.y2+8y-7=0B.y2-8y-7=0C.y2+8y+7=0D.y2-8y+7=0【解析】由题意可得,y+7y=8,则y2-8y+7=0.【答案】D8.(2011中考预测题)解分式方程2xx+1-m+1x2+x=x+1x时产生增根,则m的值是()A.-1或-2B.-1或2C.1或2D.1或-2【解析】方程两边同乘以x(x+1)得2x2-(m+1)=(x+1)2.∵方程有增根,∴x=0或-1.当x=0时,2×02-(m+1)=(0+1)2,∴m=-2.当x=-1时,2×(-1)2-(m+1)=(-1+1)2,∴m=1,故m=1或-2.【答案】D二、填空题(每小题4分,共28分)9.(2010·山西)方程2x+1-1x-2=0的解为________.【解析】2x+1-1x-2=0,2(x-2)-(x+1)=0,解得x=5,经检验x=5是原方程的根.【答案】x=510.(2010·宁夏)若分式2x-1与1互为相反数,则x的值是________.【解析】2x-1+1=0,2+(x-1)=0,∴x=-1,经检验x=-1是原方程的根.【答案】-111.(2010·温州)当x=________时,分式x+3x-1的值等于2.【解析】x+3x-1=2,x+3=2(x-1),x+3=2x-2,x=5,经检验x=5是原方程的根.【答案】512.(2010·青岛)某市为治理污水,需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120m后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工效比原计划增加20%,结果共用30天完成这一任务,求原计划每天铺设管理的长度.如果设原计划每天铺设xm管道,那么根据题意,可得方程____________.【解析】题目中的等量关系为:原计划铺设120m用的天数+后来180m新工效所用的天数=30.【答案】120x+300-1201+20%x=3013.(2010·成都)甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前两天完成任务.设甲计划完成此项工作的天数是x天,则x的值是________.【解析】由题意得x-2x+x-4x=1,解得x=6.【答案】614.(2010·桂林)已知x+1x=3,则代数式x2+1x2的值为__________.【解析】x2+1x2=(x+1x)2-2=32-2=9-2=7.【答案】715.(2010·绵阳)在5月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水以最大速度顺流航行2千米所用的时间,与以最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等,请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为__________.【解析】解:设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时,则2x+10=1.2x-10,解得x=40,经检验,x=40是原方程的根,即该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时.【答案】40千米/时三、解答题(共40分)16.(20分)解方程.(1)(2010·无锡)2x=3x+3;(2)(2010·遵义)x-3x-2+1=32-x;(3)(2010·镇江)1x=x3x-2;(4)(2010·苏州)x-12x2-x-1x-2=0.解:(1)2x=3x+3,方程两边同乘以x(x+3),得2(x+3)=3x,整理得2x+6=3x,x=6,经检验x=6是原方程的解,∴原方程的解是x=6.(2)x-3x-2+1=32-x,方程两边同乘以(x-2),得(x-3)+(x-2)=-3,去括号,得x-3+x-2=-3,合并同类项,得2x-5=-3,2x=2,∴x=1,经检验x=1是原方程的解,∴原方程的解为x=1.(3)1x=x3x-2,方程两边同乘以x(3x-2)得3x-2=x2,即x2-3x+2=0,∴(x-2)(x-1)=0,∴x1=2,x2=1,经检验x1=2,x2=1都是原方程的解,∴原方程的解为x1=2,x2=1.(4)解法一:去分母,得(x-1)2-x(x-1)-
本文标题:城市轨道交通车站换乘作业组织
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