药学高数9(函数性态的研究)

第五节函数性态的研究一、函数的单调性二、函数的极限三、曲线的凹凸和拐点四、函数图形的描绘一、函数的单调性定理2-4函数f(x)在开区间(a,b)内可导,则（1）如果在开区间(a,b)内f(x)0恒成立,则函数f(x)在(a,b)内单调增加;（2）如果在开区间(a,b)内f(x)0恒成立,则函数f(x)在(a,b)内单调减少。xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA证明在(a,b)内任取两点x1、x2,设x1x2。函数在[x1,x2]上满足Lagrange中值定理条件,在(x1,x2)内至少存在一点，使得f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1),(x1x2)如果在开区间(a,b)内f(x)0，则f()0,∵(x2-x1)0,∴f(x2)-f(x1)0即f(x1)f(x2)函数f(x)在(a,b)内单调增加。同理可证f(x)0时函数f(x)在区间(a,b)上单调减少。例2-36研究函数f(x)=x3-3x2-9x+5的单调性。解由于f(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1)当f(x)=0时，x1=-1,x2=3当x(-,-1)时,f(x)0,f(x)单调增加；当x(-1,3)时,f(x)0,f(x)单调减少；当x(3,+)时,f(x)0,f(x)单调增加。注：若f(x)在某个区间内的有限个点处为零，在其余点处均为正（或负）时，则f(x)在该区间内仍为单调增加（或单调减少）。xyo-13y=x3-3x2-9x+5例2-37判定函数y=x–sinx在[-,]上的单调性。解因为所给函数在[-,]上连续，在(-,)内y=1-cosx≥0且等号仅在x=0处成立，所以由定理2-4可知，函数y=x–sinx在[-,]上单调增加。例2-38讨论函数y=ex-x-1的单调性。解函数y=ex-x-1在定义域(-,+)内连续、可导，且y=ex-1。当y=0时，x=0。当(-,0)时y0，∴在(-,0]内单调减少；当(0,+)时y0，∴在(0,+)内单调增加。有些函数在它的整个定义区间上不是单调函数，但是当用导数等于零的点来划分函数的定义域后，就可以使函数在各个部分区间上单调。如果函数在某些点处不可导，则这些点也可能是划分函数单调区间的分点。例2-39确定函数的单调区间。解函数在定义区间(-,+)上连续,且，所以方程f(x)=0无解。但在点x=0不可导，当（0，+）时f(x)0,∴单调增加；当（-，0）时f(x)0,∴单调减少。32()fxx32()3fxx32()fxxxyo例2-40证明:当x≥0时,x≥arctanx。证令f(x)=x-arctanx，则从而y=f(x)为单调增加函数。由于f(0)=0，可知当x≥0时，f(x)≥f(0)即x≥arctanx2221()1011xfxxx二、函数的极值定义2-2设函数f(x)在x0点某邻域内有定义。对于该邻域内异于x0的点x，不等式f(x)f(x0)恒成立，则称函数在点x0有极大值(maximumvalue),f(x0),x0点称为极大值点(maximumpoint);如果使不等式f(x)f(x0)恒成立，则称函数在点x0有极小值(minimumvalue),f(x0),x0点称为极小值点(minimumpoint);极大值、极小值统称为极值(extremevalue)，使函数取得极值的点x0称为极值点(extremepoint)。如例2-36中的函数f(x)=x3-3x2-9x+5有极大值f(-1)=10和极小值f(3)=-22，点x=-1和x=3是函数f(x)的极值点。函数的极值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值，那只是就x0两侧邻近的一个局部范围来说，f(x0)是f(x)的一个最大值；如果就f(x)的整个定义域来说，不见得是最大值。关于极小值也类似。oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x定理2-5（必要条件）若函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,则f(x0)=0。证不妨假定f(x0)是极大值（极小值的情形可类似地证明），则根据极大值的定义，在x0的某个去心领域内恒有f(x)f(x0)成立，于是当xx0时,当xx0时,由于f(x)在点x0处可导，故，从而得到f(x0)=000()()0fxfxxx0000()()()lim0xxfxfxfxxx00()()0fxfxxx0000()()()lim0xxfxfxfxxx00()()fxfx使导数为零的点（即方程f(x)=0的实根）叫做函数f(x)的驻点(stablepoint)。注意：可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点不一定是极值点。例如f(x)=x3的导数f(x)=3x2,f(0)=0，因此x=0是这个函数的驻点，但是x=0显然不是该函数的极值点。如何来判断驻点是极值点呢?定理2-6（第一充分条件）设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)=0。（1）如果当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为正；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;（2）如果当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为负；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;（3）如果点x0的附近，左、右两侧点的导数f(x)恒保持一种符号，那么函数f(x)在x0处不取得极值。xyo0xxyo0x(是极值点情形)xyo0xxyo0x(不是极值点情形)证明（1）由定理2-4及已知条件知，当x取x0左侧邻近的值时,f(x)单调增加，f(x)f(x0);当x取x0右侧邻近的值时,f(x)单调减少，f(x)f(x0)。所以，函数f(x)在x0处取得极大值。（2）同理可证。（3）如果点x0的附近，左、右两侧点的导数f(x)恒保持一种符号，则f(x)保持一种单调性，所以，函数f(x)在x0处不取得极值。例2-41研究函数y=3x4-8x3+6x2+5的极值。解函数的定义域为（-,+）y=12x3-24x2+12x=12x(x-1)2令y=0，得驻点x1=0,x2=1列表讨论由上表可看出：函数的极小值点为x=0，极小值为f(0)=5，无极大值。x(-,0)0(0,1)1(1，+)y-0+0+y极小值5非极值定理2-7（第二充分条件）设函数f(x)在点x0的某个邻域内可导，f(x0)=0,且f(x0)存在，那么（1）当f(x0)0时,函数f(x)在点x0处取得极大值;（2）当f(x0)0时,函数f(x)在点x0处取得极小值;（3）当f(x0)=0时，无法判定。证明（1）因为故在x0的附近f(x)与x-x0异号。当x取x0左侧邻近的值时,f(x)恒为正；当x取x0右侧邻近的值时,f(x)恒为负，由定理2-6，函数f(x)在x0处取得极大值。000000()()()()limlim0xxxxfxfxfxfxxxxx（2）同理可证。（3）显然，函数y=x4在x=0点取得极小值，y=x3在x=0点不取得极值。但这两个函数均有f(0)=0，且f(x0)=0存在。因此无法判定。例2-42用第二充分条件求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值。解函数的定义域为（-，+）f(x)=3x2-6x–9=3(x2-2x–3)=3(x-3)(x+1)当f(x)=0时，得驻点x1=-1,x2=3f(x)=6x–6=6(x-1)f(-1)=-120,故极大值f(-1)=10f(3)=120,故极小值f(3)=-22注意：f(x0)=0时，f(x)在点x0处不一定取极值仍用定理2-6。例2-43求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值。解f(x)=6x(x2-1)2令f(x)=0，求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1又f(x)=6(x2-1)(5x2-1),f(0)=60所以f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0。由于f(-1)=f(1)=0，因此用第二充分条件无法判别，用第一充分条件。当x(-,-1)时，f(x)0；当x(-1,0)时，f(x)0,f(x)的符号没有改变，所以f(x)在点x1=-1处没有极值。类似地讨论可知，f(x)在点x3=1处也没有极值。xyo-11y=(x2-1)3+1注意：导数不存在的点，也可能是函数的极值点。例2-44求函数f(x)=1-(x-2)2/3的极值。解当x≠2时，故f(x)≠0,f(x)没有驻点。但是在(-,2)内f(x)0，函数f(x)单调增加；在(2,+)内f(x)0，函数f(x)单调减少。当x=2时,f(x)不存在，但函数f(x)在该点连续，再由上面得到的函数的单调性可知，f(2)=1是函数的极大值。32()32fxxxyo1123y=1-(x-2)2/3最大值与最小值若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在。求最大值与最小值步骤:(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个最大就是最大值,那个最小就是最小值;注意如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值。(最大值或最小值)oxyoxybaoxyabab例2-45设函数，求f(x)在[-1,2]上最大值与最小值。解f(x)=x2-5x+4令f(x)=0，得驻点：x1=1,x2=4由于x2=4[-1,2]，因此应该舍掉。又f(1)=11/6,f(-1)=-41/6,f(2)=2/3，所以f(x)在[-1,2]上的最大值点为x=1，最大值是f(1)=11/6，最小值点为x=-1，最小值是f(-1)=-41/63215()432fxxxx例2-46设函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上的最大值为3，最小值为-29，且a0，求a,b。解f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)令f(x)=0，得驻点x1=0,x2=4，其中x1[-1,2]由于f(0)=b,f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(2)=8a-24a+b=b-16a，且a0，可知在上的最大值为f(0)=b=3，最小值f(2)=b-16a=3-16a=-29，解之可得a=2，即a=2,b=3实际问题求最值应注意(1)建立目标函数;(2)求最值若目标函数只有唯一极值点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值。例2-47从半径为R的圆形铁皮上，割去一块中心角为的扇形（如图2-9(a)），将剩下部分围成一个圆锥形漏斗(b)。当多大时，漏斗的体积最大?解设漏斗的高为h,底面半径为r,则漏斗的体积V=1/3·r2h,由于r2=R2-h2,V=1/3·(R2-h2)h,Vh=1/3·(R2-3h2)令Vh=0,得：（另一值不合题意，舍去），得唯一驻点，此时漏斗的体积最大。33hRRRhr(a)(b)而r2=R2-h2=R2-1/3·R2=2/3·R2由于2R=2r+R得所以，当（约为66˚3）时，漏斗的体积最大。2()22(1)2(1)3RrrRR22(1)3三、曲线的凹凸和拐点定义2-3（1）如果某段曲线总是位于该段曲线上任一点切线的上方，则称这段曲线是凹的(concave);（2）如果某段曲线总是位于该段曲线上任一点切线的下方，则称这段曲线是凸的(convex)。xyoxyo定理2-8设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,那么（1）若在(a,b)内,f(x)0恒成立,则曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的。（2）若在(a,b)内,f(x)0恒成立,则曲线y=